教學反思:平面鑲嵌問題

教學反思:平面鑲嵌問題

教學反思:平面鑲嵌問題

前言:人教版八年級上冊第十一章《三角形》之後,安排了一個數學活動課,即多邊形覆蓋平面(或平面鑲嵌)的問題。數學活動課,其實是對學生所掌握知識的一次綜合運用,貼近生活實際,數學來源於生活,而活動課,則是利用數學知識,對生活中的數學問題進行剖析,用數學思維來解決實際問題。鑑於這部分內容與中考聯絡並不十分密切,因此相對於其它章節課時,受忽視機率較大,典型的現象就是,暑假在外面補課的學生反映,極少會講這些內容,像三角形穩定性、多邊形平面鑲嵌等知識,基本一帶而過。但從教研角度,這部分內容極考驗教師對教材的整體把握,以及對教材的文字解讀。

借本次崗位大練兵活動,在校內由本人執教,同組劉老師、楊老師觀課議課,共同發掘活動課授課方法,畢竟在去年11月份市級優質課比賽中,暴露出活動課授課重視不夠的問題,同樣存在於我自己身上,因此,這節課,也是扭轉數學活動課在教學中地位的一次契機。

一、教學設計與實際效果

對於這部分教學內容,教參和教材建議如下:

教學反思:平面鑲嵌問題

根據上述要求,將本節活動課內容設計如下:

1

1、匯入

準備一組生活中的平面鑲嵌圖案,包含單一正多邊形鑲嵌、單一任意多邊形鑲嵌、多種多邊形組合鑲嵌等,使學生認識身邊的這些圖案,作好用所學圖形進行平面鑲嵌的準備。

教學反思:平面鑲嵌問題

以上六幅圖中,圖1是正方形鑲嵌,圖2是等邊三角形鑲嵌,圖3是等腰直角三角形鑲嵌,圖4是正六邊形鑲嵌,圖5是五邊形和六邊形組合鑲嵌,圖6和圖7是三角形四邊形組合鑲嵌,基本涵蓋了本節課可能需要的圖例。

透過觀察這些圖案,引出平面圖形鑲嵌的基本要求“嚴絲合縫,不留空隙”,為後面的實操打好基礎。

2

2、實操

事先在A4紙上列印好四種基本圖形,正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形,每個學生一張,小組內便可湊6-7個相同的基本圖形進行平面鑲嵌。全班共分五個小組,由組長統籌進行活動任務分配,並以小組為單位進行課堂活動評價。

1

活動一:用一種正多邊形進行平面鑲嵌

教學反思:平面鑲嵌問題

從前面閱讀要求中“嚴絲合縫,不留空隙”這句自然語言描述,進化至數學語言:對應邊重合或共線;每個頂點周圍的角,和為360°。

按以上要求,分別利用手中剪下的正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形進行平面鑲嵌實驗,發現除正五邊形外,其餘均可進行。

部分學生鑲嵌結果如下圖:

教學反思:平面鑲嵌問題

以上是對正三角形進行鑲嵌的結果,值得一提的是左上圖的結果,在後續評課過程中,劉老師發現了我在備課過程中忽略掉的一點,留待後文細講,其餘四幅圖,學生均將正三角形拼成了一個更大的正六邊形。

我藉助學生所拼結果,想引導學生自己找到“嚴絲合縫,不留空隙”的數學描述,結果失敗,後來不得不自己說出了結果,當然,這一設計本身也值得商榷。

接著是對正方形的鑲嵌,過程較為簡單,然後是正五邊形,學生鑲嵌結果如下圖:

教學反思:平面鑲嵌問題

學生得出的結論是正五邊形不能進行平面鑲嵌,這很正常,有三幅圖都能看出,在正五邊形之間出現了空隙,然而有一組學生的拼圖,如左下圖,將所有正五邊形拼成了一個環狀,於是就有學生感覺這可以進行鑲嵌,而在指出中間的空洞如何彌補之後,方才意識到,不滿足“不留空隙”的要求。更進一步,引導學生找到了“空隙”處的角為36°,而正五邊形是無論如何也填補不了它。

最後是正六邊形,完成較為順利,如下圖:

教學反思:平面鑲嵌問題

很顯然,這和剛上課時給出的圖案很像,而蜂巢,則是最典型的實際圖例,發現每個頂點處有三個角,每個角是120°,於是能湊成360°。

2

活動二:用兩種正多邊形進行平面鑲嵌

教學反思:平面鑲嵌問題

在使用單獨一種正多邊形進行鑲嵌之後,接下來用兩種組合來進行,經過摸索,學生找到了兩種,即3個正三角形和2個正方形,4個正三角形和1個正六邊形,其實還有一種,2個正三角形和2個正六邊形。

利用手中的圖形,小組內進行了嘗試,成功得出了這些鑲嵌方法。

教學反思:平面鑲嵌問題

其實這個組的同學還可以換種拼法,兩個正方形未必要緊挨在一起,但多數小組都是這種模式,難道是思維慣勢?

3

活動三:用任意三角形進行平面鑲嵌

window。DATA。videoArr。push({“title”:“平面圖形的鑲嵌活動課一”,“vid”:“s09272d2dfq”,“img”:“http://inews。gtimg。com/newsapp_ls/0/10323928967_960495/0”,“desc”:“”})

4

活動四:用任意四邊形進行平面鑲嵌

window。DATA。videoArr。push({“title”:“數學活動課平面鑲嵌二”,“vid”:“l09277m4u1r”,“img”:“http://inews。gtimg。com/newsapp_ls/0/10323929160_960495/0”,“desc”:“”})

在這兩個活動中,利用了希沃白板5進行演示,繪製任意三角形和四邊形時,請學生注意拼接過程中,對應邊如何重合,頂點處的角度和是否為360°,以及為什麼頂點處角度和為360°,與前面“嚴絲合縫,不留空隙”互相照應。

3、小結

根據以上活動,認識到平面圖形能否鑲嵌的判斷依據,學會用數學語言對鑲嵌過程進行描述,綜合利用三角形內角和、多邊形內角和等知識。

二、評課與反思

1、在引入環節中,為了引導學生得到平面鑲嵌的數學描述,舉了一個反例,正方形頂點不重合時,不能鑲嵌,此處有誤,事實上頂點不重合,同樣可以進行鑲嵌,如下圖:

教學反思:平面鑲嵌問題

而在學生用正三角形進行鑲嵌時,其實也可以將第一組進行擴充,如下圖:

教學反思:平面鑲嵌問題

上述兩個圖例中,頂點與頂點並沒有都重合,頂點也可以在邊上,依然滿足頂點周圍角的和為360°,只是其中有一個平角而已。

2、在正五邊形與正六邊形組合不能進行平面鑲嵌的時候,要注意一個錯例,足球表面的圖案,看上去似乎是正五邊形和正六邊形剛好“鑲嵌”了,但那不是平面,而是球面。

3、時間分配上,前面引導用時較長,嘗試讓學生自己歸納出平面鑲嵌所需滿足的條件,是有一定困難的,鑑於學生實情,倒不如直接給出這兩個條件,然後按條件進行實操,加以鞏固。但在本節課中,採用讓學生去發現規律,是基於生本課堂理念,本意應該沒有錯,只是學生本身能力限制,未能達到課堂預期效果,在其它班級或可一試。

4、任意多邊形組合是否可以進行鑲嵌?因為在引導圖例中,存在五邊形和六邊形組合鑲嵌,但那並不是任意五邊形和六邊形,而是滿足一定條件的多邊形,那究竟是什麼條件呢?

教學反思:平面鑲嵌問題

無論是頂點重合或頂點在邊上,周圍的角之和為360°必須滿足,如果頂點重合,則多邊形拼到頂點處的角,和為360°,如果頂點在邊上,則多邊形拼到頂點處的角,和為180°,但這種鑲嵌已經超出了學生的理解範疇,同時本節課時間也不允許進行這類拓展。

三、結語

一節課,僅僅是閉門造車,效果往往差強人意,這就是為什麼要進行集體備課的原因,參與集體備課的老師,從各自不同的角度去看同一個教學問題,往往能看得比較通透。

評課過程中,發揮各自教學經驗的優勢,“三個臭皮匠,頂個諸葛亮”。從授課過程中自己發現問題,到評課時劉老師和楊老師發現問題,最後自己再回顧思考,進行研討,對聽、評雙方都是一種加經驗值的快捷方式。

上一節課,容易,上一節好課,難。