作者：yyl_new
當x趨近於0，x最終還不是0的那個值是1/i，再小於這個值是1/（i+1/i），這不是lim運算的定義，但是這是“x可以到達的極限”的定義。
按照導數的定義來講，也就是使用lim運算求極限這種方式，應當得到的是一個“不能達到的值”。因為這是在x的變化量趨近於卻不能，也不應該等於0的前提下匯出的一種度量結果，應當用平均數不是任意樣本值的方式來理解。也就是說，引入lim運算之後，整個式子的意義都變了。而且這種做法是無法還原的。也就是說，一旦引入lim運算，就進入了“你應當知道並記得，這一切都是對現實的抽象理解，而不是現實本身”。
這個說法還有一個依據：x的變化量不能等於0，而在運算過程中，一定有一個步驟讓x變化量的lim運算結果等於0，
如果lim確實影響x的變化量，那就出現只有一個點的切線問題。只有一個點，做不了直線，更談不上切線。就算是圓的切線，實際上也是三個點作用的結果。
“你應當知道並記得，這一切都是對現實的抽象理解，而不是現實本身”，在所有用到導數（本質是求極限）的地方
都得牢記。如果忘記呢？如果給你一個2x，卻不告訴你它的由來是y=x^2的導數呢？
會出現什麼問題？會出現的就是你會把那個“絕對不會存在”的情況當成真實的情況。y=x^2的導數，既然已經被定義為lim運算的結果，那就沒有別的可說的了。可是若要照顧不知道，或者根本沒法知道這個結果的含義是“絕對不會存在”的使用者，那麼就不應當定義這種運算方式。因為現實的情況，也就是不用lim運算子的情況下，尾巴上的無窮小不可捨棄。lim運算子雖然必然捨棄的做法在自己的圈子裡面總是對的，但一旦拿到外面，就總是錯的。
這就好像是在說，“我知道我是在說謊，我說的那個東西做不到”，但是你若不說明，別人會在預設的前提下認為你說的是真話，你說的那個是能做到的事情。
同樣的問題，也出現在場論的數學表述上面：比如要用到的梯度，散度，旋度。梯度可以認為是導數在三維以及以上高維情況下的擴充套件。它也是一個極限。
但是被導數那種“在某點上”的概念引導，你會認為梯度也是一個“在某點”存在的概念。但是還是那句話，一個點無法確定一條直線（可以確定任意多條不同方向的直線），所以根本就做不到“在某點”，只能是“非常接近的兩點”。
那麼這個差別造成了什麼影響呢？梯度是把標量場升級為向量場的一種運算。如果你認為真的可以“在某點”，那麼你就可以認為一點就能畫向量。在平面直角座標系，要畫向量的話，你得選擇一個起點和一個終點，通常選擇原點為起點，另一個座標值為終點。這看上去就好像向量只有一個點就夠了。但是在向量場中，由於各處方向不一樣，
必須是在那個位置附近的兩點才能構成向量。不能預設讓一個點是原點，因為實際上這種情況處處都是區域性的原點。
而如果習慣用lim運算，習慣使用那個做不到的，卻忘了它是做不到的，你就會認為一個點就可以做向量了，所以才經常說，“某點的方向”。
雖然明明知道，梯度將標量場抽象到向量場，並且得到了nabla運算元，而且所有的計算都是對的，
但是，在後來，應用向量場的時候，應用散度和旋度的時候，假想的，卻被認為是現實的，一個點上具有方向
（注：一個點上沒有方向，兩個點才能定義方向，一個點定義方向叫極限，但那就已經意味著它像平均數一樣，
不再具有還原到真實狀況的能力了）的這種認識，就會讓人把下面作為基礎的標量場整個都視而不見。
以電磁學而論：電場有散無旋，磁場有旋無散。而一個運動的電子，它同時具有電場和磁場，怎麼理解？
給你公式放在那，沒人能看出任何東西來。因為問題不在這，問題在於向量場到底是怎麼來的。
最後只能去挖掘它們公共的東西，也就是nabla運算元，才有可能找到二者為什麼不能共存，又為什麼必須共存的原因：而這個原因就在於，兩種向量場，都是同一種標量場，在不同角度上的理解。
意識到這一點，才能抽象出“靜電磁場”這種標量場來。
這樣不是很好嗎？當然好了。可是你知道嗎，由於把兩點當成一點的做法不被察覺，你就很難發現後面公共的東西，因為你不會這麼想。但如果你回到極限，迴歸到導數，發現導數說的是“必然沒法實現的”，而不是“必然能夠實現的”，那麼這些問題才能被理解。可是，誰又會想到迴歸導數去找這個問題的根源？
我也不會！並不是說我寫了這些，就意味著我是這麼做的。現實的情況是，我沒法實現對梯度散度和旋度的理解，好幾年都理解不了，拿著公式算誰都會，但不知道自己算的是什麼東西，誰能幫忙解決？
麥克斯韋引入旋度，用方程組重寫了電磁學規律，用旋度的旋度這種演算法匯出了電磁波的微分方程。
那麼，旋度的旋度是什麼意思？一次旋度我都不懂，旋度再旋度，我怎麼能懂？
在這個基礎上你再回來看最初的問題：如果給你一個詞，它叫“極限”或者“極限運算”，你會把它定義成，“能實現的”還是“不能實現的”？稍微有一點良心，你都不會故意把它定義為“不能實現”的（x的變化量最終等於0是不能實現的，0不能做變化率的分母，變化率都沒有了，它還有可以什麼進一步計算的理由？）。
但是，在不能認識到觀察者自身有限性的那個年代，在複數和微積分不通的背景之下，你要做這件事，就只能定義“不能實現的”。所以這個侷限性導致的必然性沒法避免。可是這一點又沒有被明確標出。當然，沒人意識到的東西也沒人會去標出。
這不就是“如果世界上沒有別人的話，最美的就是自己”的一個現實寫照麼：沒有參照物，能實現的和不能實現的，沒法分辨。
