馮·諾伊曼：無與倫比的天才（上）

在所有的天才故事中，馮·諾伊曼可能算是最為精彩的一個。在學術方面，這位出生於匈牙利的猶太科學家有著諸多非凡的貢獻。在數學上，對集合論、運算元理論、測度論、幾何、分析、拓撲等領域做出基礎性的貢獻，被稱為“偉大數學家的最後一個代表”；在物理學方面，他給出了量子力學的現代數學基礎；人們所用的計算機源自“馮·諾伊曼結構”，因此他被認為是現代計算機之父；還對爆炸科學、工程領域、經濟學做出貢獻；參與曼哈頓計劃並提出結構設計……而他本身的趣聞軼事更是讓人們津津樂道。對於這樣一位成就斐然的學者，我們很難用一篇文章甚至一本書來描述，本文僅旨在講述他一生最重要的一些貢獻，以及有趣的故事。全文將分為上、下兩篇推送。

撰文 | J rgen Veisdal （挪威科技大學經濟和管理學院工業經濟與技術管理系助理教授）

編譯 | 哪吒

“大多數數學家證明了他們能證明的，馮·諾伊曼證明了他想要的。”

“約翰·馮·諾伊曼（John von Neumann）可能是有史以來最聰明的人”，想要切實反駁這種說法確實是極其困難的。馮·諾伊曼逝世於1957年，享年53歲。這位博學的匈牙利數學家不僅革新了數學與物理的幾個分支，而且對純經濟學與統計學做出了基礎性貢獻，還在原子彈、核能應用和數字計算的發明中發揮了關鍵作用。

馮·諾伊曼被稱為“偉大數學家的最後一位代表”，他的天才甚至在他有生之年都是傳奇性的。從獲得諾貝爾獎的物理學家到世界一流的數學家，談論關於他才華的故事和軼事不勝列舉：

“你知道嗎，赫伯（譯者注：費米的博士生Herb Anderson），Johnny心算的速度是我的十倍。而我的速度是你的十倍，所以你可以看到Johnny多麼讓人驚歎。”

——恩里科·費米（Enrico Fermi，1938年諾貝爾物理學獎獲得者）

“他給人的印象就是一臺齒輪齧合被精確加工到千分之一英寸的完美儀器。”

——尤金·維格納（Eugene Wigner，1963年諾貝爾物理學獎獲得者）

“我有時會想，像馮·諾伊曼這樣的大腦，是不是表明這個物種比人類更優越。”

——漢斯·貝特（Hans Bethe ，1967年諾貝爾物理學獎獲得者）

的確，馮·諾伊曼與20世紀科學界一些最重要的人物一起工作且合作過。他和尤金·維格納（Eugene Wigner）一起上高中；在蘇黎世聯邦理工學院（ETH）與赫爾曼·外爾（Hermann Weyl）合作；在柏林參加過阿爾伯特·愛因斯坦（Albert Einstein）的講座；在哥廷根大學給大數學家大衛·希爾伯特（David Hilbert）當助手；在普林斯頓與和艾倫·圖靈（Alan Turing）、奧斯卡·摩根斯特恩（Oskar Morgenstern）共事，在哥本哈根與尼爾斯·玻爾（Niels Bohr）共事；在洛斯阿拉莫斯與理查德·費曼（Richard Feynman）和羅伯特·奧本海默（J。 Robert Oppenheimer）關係密切。

1933年，馮·諾伊曼移民美國。他一生都致力於拓展認知，追求創新，同時也享受生活的樂趣。據他的朋友波蘭裔數學家、物理學家斯塔尼斯拉夫·烏拉姆（Stanis aw Ulam）說，他結過兩次婚，很富有，喜歡昂貴的衣服、烈酒、快車和黃色笑話。馮·諾伊曼去世後，為他撰寫傳記的作者諾曼·麥克雷（Norman Macrae）回憶道，人們幾乎是不由自主地喜歡上了他，即使是那些不同意他保守政治觀點的人（Regis， 1992）。

本文旨在突出“約翰尼”馮·諾伊曼的一些令人難以置信的壯舉。敬請快樂地閱讀！

早年時期（1903-1921）

馮·諾伊曼（Neumann János Lajos，英文為John Louis Neumann）於1903年12月28日降臨在匈牙利布達佩斯的一個富有的猶太銀行家家庭，不過他們不守猶太教規。馮·諾伊曼的成長經歷可以說是十分優越。他的父親擁有法學博士學位。他在布達佩斯Bajcsy-Zsilinszky街62號坎-海勒（Kann-Heller）辦公室頂樓的一套有著18個房間的公寓里長大（Macrae， 1992）。

馮·諾伊曼 7歲時（1910年）

神童

小約翰是個神童。從很小的時候起，就有關於小約翰能力的奇怪故事： 6歲時能心算兩個八位數的運算，用古希臘語交談（Henderson， 2007）；8歲精通微積分（Nasar， 1998）；12歲時能讀懂領會博雷爾（ mile Borel）的大作 Méthodes et problèmes de la théorie des fonctions（《函式論的方法和問題》；Leonard， 2010）。傳聞馮·諾伊曼擁有超強的記憶力，能夠根據要求回憶起整本小說和幾頁電話簿。這種天賦使他能夠積累幾乎百科全書式的知識，如伯羅奔尼撒戰爭（Peloponnesian Wars）的歷史、聖女貞德審判和拜占庭歷史（Leonard，2010）。普林斯頓的一位教授曾經說過，在他30多歲的時候，約翰尼在拜占庭歷史方面的專業知識比他的還多（Blair， 1957）。

馮·諾伊曼11歲時與表妹 Katalin Alcsuti

圖片來源：Nicholas Vonneuman攝

諾伊曼兄弟三人，從左至右：Miklós （1911–2011）， Mihály （1907–1989）與 János Lajos （1903–1957）。

“他的非凡能力之一就是絕對的記憶能力。據我所知，馮·諾伊曼在讀過一本書或一篇文章後，可以一字不差地引述；而且，他能在多年之後毫不遲疑地做到這一點。他還能以絲毫不減的速度將原文翻譯成英文。有一次，我問他《雙城記》是怎麼開頭的，想要測試他的能力。然後，他立即開始背誦第一章，沒有任何停頓，直到背了大概十到十五分鐘讓他停下來才結束。

——摘自諾伊曼Herman Goldstein，The Computer from Pascal to von Neumann（《計算機：從帕斯卡到馮·諾伊曼》，1980）

馮·諾伊曼的父親馬克斯是一位非傳統型的家長，據說他會把日常的銀行決策帶回家，詢問孩子們會如何應對特定的投資機會和資產負債風險（Macrae， 1992）。直到1914年，馮·諾伊曼都按照當時匈牙利的習俗在家接受教育。從11歲開始，他進入布達佩斯以德語教學的路德教會學校（Lutheran Gymnasium）。他在這所高中一直讀到1921年。著名的是，他和匈牙利另外三個“火星人（The Martians）”的高中時間重疊。（譯者注：“火星人”指20世紀上半葉移民美國的傑出匈牙利學者，表示來自小國卻智慧非凡。西拉德曾說匈牙利就像火星人的前線。）

利奧·西拉德（Leo Szilard），1908-16年就讀於在文理中學；物理學家，構想出核鏈式反應，並在1939年底致信美國總統給羅斯福，也就是著名的愛因斯坦-西拉德信件，促成了曼哈頓計劃的形成——最終建造出第一顆原子彈。

尤金·維格納（Eugene Wigner），1913-21年就讀於路德教會學校；1963年諾貝爾物理學獎得主，曾致力於曼哈頓計劃，特別是對原子核理論、基本粒子理論有重要貢獻，提出了量子力學中的維格納定理。

愛德華·泰勒（Edward Teller），1918-26年就讀於明塔中學；“氫彈之父”，曼哈頓計劃的早期成員，在核物理、分子物理、光化學和表面物理等多個領域有傑出貢獻。

他們的年齡和興趣都相似，但性格並不相同，正如Macrae（1992）所寫：

“這四名布達佩斯人雖然有著相似背景卻各不相同。他們只是在智識能力上以及職業生涯的性質上彼此相似。維格納……害羞、極為謙虛、安靜。泰勒，在經歷了一生成功的爭議之後，是一個情緒化的、外向之人，並且不會掩飾自己的光芒。而西拉德則熱情奔放，性情乖戾，脾氣暴躁，熱衷活動。約翰尼……都不是。約翰尼最慣常的動機是，他要努力使下一分鐘成為他頭腦中任何智力活動中最富有成效的一分鐘。

——摘自Norman Macrae，John von Neumann，1992（中譯本為《天才的拓荒者——馮·諾伊曼傳》，下同）

儘管如此，因為他們都移民到美國並參與了曼哈頓計劃，這四個人還是斷斷續續地合作。

在馮·諾伊曼1921年進入大學時，他已經和他的導師之一米哈伊爾·費科特（Mikhail Fekete）寫了一篇關於“關於某種多項式根的位置的Fejér定理的推廣”的論文（Ulam， 1958）。據報道，費科特和Laszló Rátz（路德教會學校的老師）注意到了馮·諾伊曼，並開始輔導他大學水平的數學。據烏拉姆說，馮·諾伊曼在18歲的時候就已經被認為是一位成熟的數學家了。對於馮·諾伊曼16歲時寫的一篇早期集合論論文，亞伯拉罕·弗倫克爾（Abraham Fraenkel，Zermelo-Fraenkel集合論的創立者之一）後來自己說（Ulam， 1958）：

亞伯拉罕·弗倫克爾寫給斯塔尼斯拉夫·烏拉姆的信：

大約在1922-23年，我當時是馬爾堡大學的教授，收到柏林的埃哈德·施密特（Erhard Schmidt）教授的信……有一份陌生作者的很長的手稿，署名是馮·諾伊曼，題目是Die Axiomatisierung der Mengerlehre，這是他最終的博士論文，直到1928年才在期刊上發表……我想表達一下我的觀點，因為這似乎根本無法理解。我並不認為自己什麼都理解，但足以看出這是一部傑出的作品，我可以認出這是“獅子的爪子”。而要回答這些問題，我邀請這位年輕的學者到馬爾堡訪問，和他一起討論，並強烈建議他準備一篇非正式的論文來輔以解釋這篇技術性很強的文章，強調針對問題的新途徑及其基本結果。為此他寫了一篇題為Eine Axiomatisierung der Mengerlehre（《門格勒的公理》）的文章，之後我於1925年發表了它。

大學時代（1921-1926）

正如Macrae（1992）所述，約翰尼總有一天會上大學，這是毫無疑問的。約翰尼的父親起初希望他追隨自己的腳步，成為一名收入豐厚的金融家，他擔心從事數學職業“財務穩定性”問題。然而，在利波特·費耶爾（Lipót Fejér）和魯道夫·奧特維（Rudolf Ortvay）等匈牙利數學家的鼓勵下，他的父親最終默許，決定讓兒子追求自己的愛好，並資助他出國學習。

約翰尼顯然同意他父親的意見，最初決定從事化學工程（更容易進入產業界）。但由於他對化學一竅不通，學校安排他在柏林大學攻讀兩年的非學位化學課程。從1921年至1923年，他確實這麼學了兩年。之後馮·諾伊曼參加並通過了著名的蘇黎世聯邦理工學院（ETH Zurich）的入學考試。他仍然對數學感興趣，同時還進入布達佩斯的帕茲馬尼·彼得大學（University Pázmány Péter，現為羅蘭大學）攻讀數學博士學位。他的博士論文是在費耶爾指導下撰寫的，研究了康託集合理論的公理化。由於這時他已在柏林開始正式學習化學，他基本上是在另一邊缺席的情況下完成博士學位的，只有在每個學期結束時才出現在布達佩斯參加考試。在柏林期間，他與埃哈德·施密特（Erhard Schmidt）在集合理論方面合作，還參加了物理學課程，包括愛因斯坦教授的統計力學。從1923年開始，他在ETH繼續他的化學和數學研究。

“顯然，一篇博士論文和透過考試並不能算作多大成就。”

——尤金·維格納（Eugene Wigner）

1920年代的馮·諾伊曼

在數學方面，他首先與德國數學家外爾研究了希爾伯特的一致性理論。馮·諾伊曼最終以化學工程師的身份從ETH畢業，並於1926年以優異成績從布達佩斯大學獲得數學博士學位，年僅24歲。

“一次我在蘇黎世給高年級學生開研討會，馮·諾伊曼也在班上。我提到一個定理，並說它還沒有被證明，可能很難。馮·諾伊曼什麼也沒說，但五分鐘後他舉起了手。然後我叫了他，他走到黑板前，寫下了證明。在那之後，我就害怕馮·諾伊曼了。”

——喬治·波利亞（George Pólya，匈牙利數學家，“火星人”之一）

馮·諾伊曼向國際教育委員會申請獎學金（1926年）

馮·諾伊曼向洛克菲勒資助的國際教育委員會（上圖）申請為期六個月的獎學金，以便在哥廷根大學繼續他的研究。他在申請中提到，匈牙利語、德語、英語、法語和義大利語是他的口語語言，同時還附有理查德·柯朗（Richard Courant）、外爾和希爾伯特的推薦信。這三位是當時世界上最重要的數學家（Leonard， 2010）。

哥廷根時代（1926-1930）

哥廷根大學的大禮堂， 1935年

1926年秋天，約翰尼來到哥廷根，繼續在希爾伯特指導下進行數學研究，希爾伯特是當時世界上最重要的數學家。據Leonard（2010）的說法，馮·諾伊曼最初被希爾伯特在關於所謂的元數學（也被稱為形式主義）的辯論中的立場所吸引，這也是促使他跟隨希爾伯特學習的原因。特別是，在他的獎學金申請中，他寫下了自己的意願（Leonard，2010）：

“對數學基礎和集合的一般理論的研究，特別是希爾伯特的非衝突性理論……，研究旨在澄清集合的一般理論的矛盾性質，從而牢固地建立數學的經典基礎。這種研究使人們有可能批判性地解釋數學中出現的疑問。”

這非常符合希爾伯特的風格和語言，馮·諾伊曼很可能指的是19世紀80年代康托爾（Georg Cantor）提出的關於無限集合的本質的基本問題。馮·諾伊曼，以及威廉·阿克曼（Wilhelm Ackermann）和保羅·伯奈斯（Paul Bernays）最終成為希爾伯特在闡述1918年提出的“決策問題（Entscheidungsproblem）”時的關鍵助手。到哥廷根的時候，馮·諾伊曼已經對這個話題很熟悉了，除了博士論文，他已經在ETH發表了兩篇相關的論文。

集合論

馮·諾伊曼在20多歲時寫了一系列關於集合論和邏輯的論文：

第一篇集合論論文題為“Zur Einführung der transfiniten Zahlen（《論超限數的引入》，1923年）”，將康托爾1897年對序數的定義視為良好有序集的序型別。在本文中，馮·諾伊曼引入了一種新的序數理論，將序數視為前面序數的集合（Van Heijenoort， 1970）。

第二篇集合論論文題為“Eine Axiomatisierung der Mengenlehre （《集合理論的公理化》，1925年）”。這是第一篇介紹了後來被稱為von Neumann-Bernays-G del集合理論（NBG）的論文，首次引入了以函式和引數的基本概念定義的類的概念。在這篇論文中，馮·諾伊曼站在數學辯論的基礎上，反對布勞威爾（L。 E。 J。 Brouwer）和外爾 “犧牲大量數學和集合理論”的意願，以及邏輯學家“試圖在可約性公理上建立數學”。相反，他主張策梅洛（Ernst Zermelo）和弗倫克爾（Abraham Fraenkel）的公理方法，在馮·諾伊曼看來，這種方法用嚴謹取代了模糊（Leonard， 2010）。

第三篇論文“Az általános halmazelmélet axiomatikus felépitése（《廣義集合論的公理結構》，1926年）”，是他的博士論文，其中包含的主要觀點將在他的第五篇論文中首次以德語發表。

馮·諾伊曼在第四篇集合論論文“Die Axiomatisierung der Mengenlehre（《集論的公理化》，1928年）”中，正式提出了他自己的公理化系統。它的公理只有一頁紙，是當時發展起來的最簡潔的集合理論公理，併為後來哥德爾（Kurt G del）和博內斯（Paul Berneys）發展起來的系統奠定了基礎。

他的關於集合論的第五篇論文“ ber die Definition durch transfinite Induktion und verwandte Fragen der allgemeinen Mengenlehre（《關於超限歸納的定義和一般集合論的相關問題》，1928年）”，證明了超限歸納定義的可能性。也就是說，在此論文中，馮·諾伊曼論證了公理對於消除集合論悖論的重要性，證明了當且僅當一個集合的基數與所有集合的基數不相同時，它才不會導致矛盾，這意味著選擇公理（Leonard，2010）。

他在第六篇集合論論文“ ber eine

Widerspruchsfreiheitsfrage in der axiomatischen Mengenlehre（《關於毋庸置疑的數量問題》，1929年）”中討論了集合論中的相對一致性問題（Van Heijenoort，1970）。

總結起來，馮·諾伊曼對集合理論的主要貢獻是後來的von·Neumann-Bernays-G del集合理論（NBG），這是一個公理化的集合理論，被認為是澤梅洛-弗倫克爾集合理論（ZFC）的保守擴充套件。它引入了類的概念（由一個公式定義的集族，此公式中只取遍集合），並可以定義大於集合的類，例如所有集合的類和所有序數的類。

馮·諾伊曼（19世紀20年代）

馮·諾伊曼1923年的論文。來源：Zur Einführung der transfiniten Zahlen Acta Litterarum ac Scientiarum Regiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae， sectio scientiarum mathematicarum， 1， pp。 199–208。

受到康托爾的研究啟發，以及策梅洛在1908年的集合論公理化，和弗倫克爾和斯庫萊姆（Thoralf A。 Skolem）對策梅洛集合論的批判等工作的影響，馮·諾伊曼為策梅洛集合論的一些問題提供瞭解決方案，導致了策梅洛-弗倫克爾集合理論（ZFC）的最終發展。他幫助解決的問題包括：

策梅洛集合論中發展康託序數理論的問題。馮·諾伊曼使用有序的集合重新定義序數，而這些有序的集合運用了所謂的∈-關係。

找到一個標準來識別太大而不能作為集合的類的問題。馮·諾伊曼引入了一個準則，即當且僅當一個類可以對映到所有集合的類上時，這個類就太大了而不是集合。

策梅洛在他的分離定理中關於“確定命題函式”的概念有些不精確。馮·諾伊曼用他的函式形式化了這個概念，而建構函式只需要有限的公理。

策梅洛的空集和無限集的基礎問題，迭代配對、並集、冪集、分離和選擇的公理來生成新的集合。弗倫克爾引入了一個公理來排除集合。馮·諾伊曼在他的正則性公理中修改了弗倫克爾的陳述，排除了非充分基礎的集合。

當然，隨著弗倫克爾，斯科萊姆（Thoralf Skolem），希爾伯特和馮·諾伊曼對策梅洛集合理論的批判和進一步的修正，1930年，一位名叫哥德爾的年輕數學家發表了一篇論文，闡述了他的不完備定理。這篇論文有力地終結了馮·諾伊曼對形式集合理論的努力，以及希爾伯特倡導的形式主義綱領。當哥德爾第一次展示它時，馮·諾伊曼恰好在觀眾席中：

在希爾伯特演講前的一次數學會議上，一位安靜、默默無聞的年輕人，宣佈了一項將永遠改變數學基礎的結果，他叫庫爾特·哥德爾，這時他獲得博士學位僅僅一年。他用撒謊者悖論“這一陳述是錯誤的”，以粗略證明，對於數論（Peano算術）的任何有效公理化一致擴充套件T，都有一個句子σ，在T中是不可證明的。

在場的觀眾之一，馮·諾伊曼立刻明白了哥德爾不完備性定理的重要性。馮·諾伊曼在會議上報告了希爾伯特證明理論的綱領，並意識到此綱領已經結束了。在接下來的幾周裡，馮·諾伊曼認識到，透過對哥德爾第一定理的證明進行算術化，可以得到一個更好的結果：沒有這樣的形式系統能夠證明其自身的一致性。幾周後，他把他的證明帶給了哥德爾，哥德爾感謝他，並禮貌地告訴他，他已經提交了第二個不完備性定理供發表。”

——摘自Copeland等，Computability： Turing， G del， Church and Beyond（《可計算性：圖靈、哥德爾、丘奇和超越》，2015）

馮·諾伊曼作為哥德爾的終身支持者之一，他後來說：

“哥德爾是絕對不可替代的。自成一等。”

到1927年底，馮·諾伊曼已經發表了12篇重要的數學論文。1927年12月，他獲得了獨立大學教學資格（Habilitation）。1928年，25歲的他開始在柏林大學以編外講師（Privatdozent，PD；譯者注：指在通過了教授任教資格，可以指導博士但未獲教授職位的頭銜，且無僱傭關係）的身份講課，成為柏林大學歷史上最年輕的編外講師。

“到1927年中期，約翰尼這隻小鷹顯然渴望從希爾伯特的巢中翱翔。約翰尼花了他的本科時間來解釋希爾伯特的偉大正確之處，但他早已進入了研究生階段，不得不解釋希爾伯特的錯誤之處。”

——摘自Norman Macrae，John von Neumann（1992）

博弈論

大約在對集合理論做出貢獻的同時，馮·諾伊曼還證明了一個定理，即零和博弈的極大極小定理，這為後來的博弈論這個數學學科的新領域奠定了基礎。極小極大定理可以總結為：

極大極小定理提供了極大極小不等式也是一個等式的條件，即每個有限的、零和的二人對策都有最優的混合策略。

這一證明發表在1928年的Zur theororie der Gesellschaftsspiele（《戰略博弈理論》）上。後來馮·諾伊曼與經濟學家奧斯卡·摩根斯特恩合作，出版了關於這種合作的零和博弈的權威著作《博弈理論與經濟行為》（Theory of games and Economic Behavior， 1944）。

馮·諾伊曼1928年的論文

《博弈理論與經濟行為》（第一版）

圖片來源： Whitmore Rare Books

到1929年底，馮·諾伊曼發表的主要論文數量已經上升到32篇，幾乎平均每月發表一篇重要的論文。1929年，他短暫地成為漢堡大學的一名編外講師，在那裡他發現成為一名教授的前景會更好。

量子力學

在馮·諾伊曼晚年提交給美國國家科學院的候選表單中，他將自己在哥廷根（1926年）和柏林（1927-1929年）的量子力學研究列為“最重要的”。“量子力學”這個術語，很大程度上是由哥廷根培養的23歲的天才維爾納·海森堡（Werner Heisenberg）在前一年提出的，但當時仍然受到激烈的爭論。同年，馮·諾伊曼來到哥廷根。當時在瑞士工作的薛定諤（Erwin Schr dinger）拒絕了海森堡的公式，認為它是完全錯誤的（Macrae， 1992）。故事是這樣的：

1926年，約翰尼在哥廷根的最初幾周，海森堡就自己的理論與薛定諤的理論之間的區別進行了演講。上了年紀的數學教授希爾伯特問他的物理助理洛塔爾·諾德海姆（Lothar Nordheim），海森堡這個年輕人到底在說什麼。諾德海姆給希爾伯特教授寄了一篇後者仍未看懂的論文。引用諾德海姆自己的話，正如Steve J。Heims（譯者注：John von Neumann and Norbert Wiener： From Mathematics to the Technologies of Life and Death一書的作者）在書中所記錄的那樣：“當馮·諾伊曼看到這些時，他在幾天內就把它們變成了優雅的公理形式，這很合希爾伯特的意。”讓希爾伯特高興的是，約翰尼的數學闡述中大量使用了希爾伯特自己提出的希爾伯特空間的概念。

——摘自Norman Macrae，John von Neumann（1992）

從這件事後，在接下來的幾年裡，馮·諾伊曼發表了一系列論文。這些論文將為量子力學建立嚴格的數學框架，即現在所說的狄拉克-馮·諾伊曼公理（Dirac-von Neumann axioms）。正如Van Hove（1958）所寫：

當馮·諾伊曼開始研究量子力學的形式框架時，這個理論已經有了兩個不同的數學表述：海森堡、玻恩（Max Born）和約當（Pascual Jordan）的“矩陣力學”，以及薛定諤的“波動力學”。這些公式的數學等價性是由薛定諤建立起來的，它們都作為特例被嵌入到狄拉克和約當提出的一般形式中，通常被稱為“變換理論（transformation theory）”。

然而，這種形式相當繁瑣，它依賴於定義不明確的數學物件，即著名的狄拉克函式及其導數。……（馮·諾伊曼）很快意識到希爾伯特空間及其線性運算元的這些抽象、公理化的理論可以提供一個更自然的框架。

——摘自Léon Van Hove， Von Neumann‘s Contributions to Quantum Theory（《馮·諾伊曼對量子理論的貢獻》，1958）

在1927-31年間，馮·諾伊曼發表了五篇關於量子力學的極具影響力的論文：

Neumann， J。 von。 “Mathematische Begründung der Quantenmechanik。” Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu G ttingen， Mathematisch-Physikalische Klasse 1927 （1927）： 1-57。（《量子力學的數學基礎》）

Neumann， J。 von。 “Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik。” Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu G ttingen， Mathematisch-Physikalische Klasse 1927 （1927）： 245-272。（《量子力學的機率理論》）

Neumann， J。 von。 “Thermodynamik quantenmechanischer Gesamtheiten。” Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu G ttingen， Mathematisch-Physikalische Klasse 1927 （1927）： 273-291。（《量子力學量的熱力學》）

Neumann， J。 von。 “Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren。” Mathematische Annalen 102 （1930）： 49-131。（《厄米特泛函運算元的一般特徵值理論》）

Neumann， J。 von。 “Die Eindeutigkeit der Schr dingerschen Operatoren。” Mathematische Annalen 104 （1931）： 570-578。（《薛定諤運算元的唯一性》）

用保羅·哈爾莫斯（Paul Halmos）的話來說，他的基本見解是“希爾伯特空間中向量的幾何與量子力學系統狀態的結構具有相同的形式屬性”（Macrae， 1992），這是海森堡、玻爾或薛定諤都沒有的見解。也就是說，馮·諾伊曼意識到量子系統的狀態可以用復的希爾伯特空間的點來表示。一般來說，即使對於單個粒子，也可以是無限維度的。在量子力學這種形式的觀點中，可觀測的量，如位置或動量，被表示為作用於與量子系統相關的希爾伯特空間的線性運算元（Macrae， 1992）。例如，在馮·諾伊曼的系統中，不確定性原理被轉化為兩個對應運算元的非交換性。

綜上所述，馮·諾伊曼對量子力學的貢獻大致可以概括為兩方面：

量子理論的數學框架：其中物理系統的狀態由希爾伯特空間向量和作用於它們的無界厄米特算符的可測量（如位置、動量和能量）描述；

量子理論的統計方面：在用希爾伯特空間中的向量和運算元來表述量子力學的過程中，馮·諾伊曼還給出瞭如何從統計學上理解該理論的基本規則（Van Hove， 1958）。也就是說，在一個給定量子態的系統上測量一個特定物理量的結果，其機率分佈應該用表示狀態的向量和表示物理量的運算元的譜分解來表示。