導語
識別複雜網路的隱藏組織原則和相關結構是理解其特性的根本。為此，揭開涉及網路中突出節點的結構是一種有效的方法。在時效網路中，連線的同時性是產生時間穩定結構的關鍵。在這裡，最新發表於 Nature Physics 上的一項研究提出了一個新的衡量標準，以定量研究連線良好的節點在時效網路中形成同時性和穩定性結構的趨勢。這種趨勢被稱為時效富人俱樂部（temporal rich club， TRC）現象。這項工作提供了一個新的程式來檢測時效網路中的動態結構模式，使我們能夠從一個新的定量角度來分析經濟社會甚至是神經網路等不同領域的動態模式。
研究領域：複雜網路，統計物理，時效網路，動態結構
論文題目：
The temporal rich club club phenomenon
論文連結：
https：//www。nature。com/articles/s41567-022-01634-8
通訊系統、交通基礎設施、生態系統以及社會互動等各種自然和社會系統都可以被表示為複雜網路的形式，而其中的關鍵節點我們稱之為樞紐
（hub）
或者是核心
（core）
。k-core 分解可以將網路分解為連線度越來越高的子圖，在網路傳播過程中的影響力也越來越大，而富人俱樂部係數則量化了樞紐是否傾向於形成更緊密的互連團體。
所謂富人俱樂部
（rich club）
是指網路中度值高的節點之間的連線，這些節點之間往往表現出比度值低的節點連線更加緊密的趨勢，正如現實中朋友多的人往往也與朋友多的人交往更緊密。透過 k-core 分解或計算富人俱樂部係數等成熟方法都可以發現這種網路結構。但是，現實世界的大部分網路往往是動態演變的，以上基於靜態網路計算的方法無法發現網路結構演變特徵，產生的僅僅是時效網路的聚合表示。因此需要開發基於時效網路
（temporal networks）
的網路結構分析方法。
一、如何計算時效網路中的結構？
發表於
Nature Physics
的這篇文章，開發了一種針對時效網路的時效富人俱樂部係數
（temporal rich club，TRC）
計算方法。這種方法考慮到了網路結構形成的時效性和同時性，並能計算網路結構存在的時間跨度。給定一個時效網路，時效
富人俱樂部係數量化那些與越來越多的其他節點互動的節點是否傾向於同時以穩定的方式彼此互動。
如圖1 所示，考慮時間間隔
［1， T］
上的離散時效網路，表示為每個時間戳網路的一系列瞬時切片
（圖1a）
，並且
［1， T］
的時間內會聚合產生一個靜態網路
G =（V， E）
，其中包含一組節點
V
和一組在特定時間內形成的時效邊
E
（圖1b）
。其中在兩個節點
i
和
j
之間繪製一條邊如果它們至少有一個共享的時效邊，則權重
wij
由
i
和
j
之間的時間邊的數量給出。
G
中一個節點的度數
k
是它與之互動至少一次的不同其他節點的數量，它的強度
s
是它參與的時效邊的總數。
圖1。 時效富人俱樂部概念圖。
（a）時效網路的示意圖，表示為一系列瞬時切片。（b）時間聚合圖，度數大於3的節點的集合
S>3
被陰影區域所突出。（c）實線表示形成
E>3
的邊，紅色虛線表示在
t0+ Δ - 1
時活躍但在
t0 + Δ
不活躍的連邊。（d）固定
k
= 350 和
k
= 410 時，針對美國航空運輸時效網路的計算。（e）時間序列
ϵ>k（t， Δ）
與
t
的關係例項，即熱力圖的水平切割。
時效富人俱樂部分析目的是找到網路
G
中度數增加的節點是否傾向於在一定時間內同時連線而不是偶然連線。對於靜態網路，富人俱樂部係數被定義為度數大於
k
的
N>k
個節點的子集
S>k
中的邊密度。密度越大表明度數越大的節點傾向於形成連線越來越多的節點組。
對於具有時效性的動態網路，論文作者也定義了類似於靜態密度的
ϵ>k
值，表示在時間 ［t， t + Δ］ 期間內保持穩定的連線
E>k
（
S>k
的節點之間）的數量。然後，作者將時效富人俱樂部係數定義為以穩定的方式在
ϵ>k
值的節點中觀察到的持續時間
Δ
的最大時效邊密度
M（k， Δ）
。
時效富人俱樂部係數計算公式
M（k， Δ）
不僅量化了靜態網路富人俱樂部模式是否對應於某個瞬間實際存在的結構，還能分析這種
結構的密度以及穩定性如何
。
M（k， Δ）
隨著
k
的增加而增加，表示在至少在
Δ
的時間內，
連線最多的節點傾向於以同時的方式越來越多地相互連線，即使一個穩定的樞紐在統計上傾向於促進這種連線性。
事實上，
M(k, Δ)
關注的是中心點之間的聯絡。此外，
ϵ>k
值的時間演變表明子集
S>k的最高同時連通性時刻，以及這種連通性是穩定的還是波動的。
在固定k 值的情況下，ϵ>k 值隨時間 t 和持續時間 Δ 改變而改變
（圖1d）
，表現出穩定
（圖1e上）
和波動
（圖1e下）
的特性。
從本質上來說，時效富人俱樂部係數定義為在至少一個持續時間
Δ
內，聚合度至少為
k
的節點之間穩定的連邊密度的最大值。因此，該係數衡量了動態網路的富人俱樂部結構數量的多寡以及這種結構的持續性動態。
二、時效富人俱樂部指標的應用
1. 揭示真正的樞紐機場節點
論文作者首先將上述指標應用於描述美國航空運輸基礎設施，一個從2012年到2020年，時間解析度為1個月，共105個切片的時效網路。
M（k， Δ）
在
k
~ 315 左右達到非常大的數值
（圖2a）
，這表明一個穩定的、非常有凝聚力的結構。事實上，在 S
>135
的 31 個機場中，大部分都是美國航空運輸系統的樞紐，這些機場基本上都是相互連線的，而且連線非常穩定。
但是，一些度數大於 380 的機場比其他度數為 315<
k
<380 的機場有更不穩定的連線，即使它們的瞬時度數保持穩定
（圖2d）
。
這種度數非常高的機場節點的反直覺行為（顯示出比度數稍低的節點更不穩定的連線，也見於圖1d,e），是無法從靜態富人俱樂部係數的簡單增加行為中推匯出來的（圖2c)。
為什麼會出現這種情況呢？
圖2。
（a）上圖：總度數大於
k
的節點的子網路的大小 ∣
S>k
∣ 與
k
的函式關係；下圖：其中Random 為隨機的時效網路，用來與航空網路進行對比。（b）20個度最大的機場節點的地理位置（
S>350
）。（c）上圖：節點度數的與靜態富人俱樂部係數的關係；下圖：節點度數的與動態態富人俱樂部係數的關係。（d）奧黑爾國際機場（ORD，橙色線）和威徹斯特縣機場（HPN，紫色線）在時間
t
和
t+1
之間的節點鄰域的瞬時度。這兩個機場都在總度數的前20個節點中，但 ORD 有一個穩定的鄰域，而 HPN 的鄰域則波動較大。
圖2b 顯示了那些具有最大度數的20個機場節點。雖然這些紅色節點是著名的樞紐，但也包括伯班克-好萊塢機場
（BUR）
或威徹斯特縣機場
（HPN）
等作為作為洛杉磯
（LAX）
和紐約
（JFK）
等樞紐機場的緩解機場。
它們在航空網路中的連線非常好，但根據相鄰樞紐的需要，它們的連線是波動的。
圖2d 強調了兩種型別的節點，即“真正的”樞紐機場和緩解機場之間的差異。一方面，樞紐和緩解者的瞬時度
k（t）
都有相當穩定的值。但另一方面，HPN 機場儘管有最大的度值，但從一個月到下一個月，其鄰域的變化高達80%
（圖2d）
。
因此，時效富人俱樂部發現的模式並不能簡單地從靜態富人俱樂部的係數中推斷出來，也不能從它們的瞬時度數的波動中推斷出來。
總的來說，在動態演化視角下對美國航空運輸網路的分析揭示了連線良好的節點的不同作用，強調了網路結構的時效性。
2. 揭示社交網路結構及其傳染過程
第二個網路是法國一所小學的 232 名學生和 10 名教師之間面對面互動的時效網路。兩個節點之間的每條時間邊都對應著兩個相應個體之間的面對面互動，由可穿戴感測器檢測。資料的時間解析度為20秒。
圖3a 顯示，網路中度數較高的節點傾向於更緊密地相互連線，而且是以一種更穩定的方式，擁有更多的聯絡人多樣性的兒童往往更多的相互聯絡，並且這些節點之間的穩定結構實際上是以一種同時的方式發生的。
圖3。 小學時間網路。
（a）含義與圖2a 相同。（b）上圖：每個時間步的時效邊的數量；中圖：
ϵ>87
相對於 t 和 Δ 熱力圖；下圖：隨機化資料的相同內聚力的顏色圖。（c）含義與圖2c 相同。（d）對原始資料集計算的傳染閾值時效富人俱樂部和隨機時效網路之間的相對差異。
然而，在瞬時靜態富人俱樂部係數中看到的表面穩定性模式不一定對應於網路結構的真正穩定性。
圖3b 顯示，高度數節點之間的連線結構是部分存在的，也就是說這些學生之間的凝聚結構只以穩定的方式出現一次，即在午餐時。
那麼這種時效富人俱樂部結構是否會有利於資訊或是傳染病的傳播呢？
論文作者使用 SIS 和SIR 傳染病模型。透過給定恢復機率
ν
時的傳染閾值λc
（ SIS 和 SIR 模型的閾值是一致的40）
來量化時效網路和傳播之間的相互作用。當個傳染機率大於閾值時，傳染病將在所有個體中傳播。透過與隨機時效網路進行對比發現
（圖3d）
，時效富人俱樂部結構更有利於傳播過程，也就是說，與隨機時效網路相比，連線的同時性更強。
因此，TRC 分析揭示了影響傳播動力學的突出節點的內聚同時性結構，類似於樞紐或其他結構的波動或穩定性。
3. 揭示神經元網路不同的時間模式
作者最後研究了麻醉大鼠的內皮層和海馬中
N
=67 個神經元的時間分辨功能連線的時效富人俱樂部模式。節點代表神經元，時效邊對應於10 秒中成對神經元放電模式之間的資訊交流
（圖4a）
。連續的時間視窗移位1 秒，就是網路的時間解析度，持續了2284秒。
圖 4。 資訊交流神經元的時效網路。
（a）腦區簡圖。（b）時效富人俱樂部係數
M（k， Δ）
隨
k
和
Δ
的變化而變化。（c）時效網路相似性矩陣，是由時效網路的瞬時切片之間的相似性給出。對角線周圍的紅色塊表示網路與自身保持相似的時期，也就是網路的“狀態”。這些狀態的時間線在矩陣下方顯示為彩色條碼（每種顏色代表不同的狀態）。（d）對於三個不同的狀態（狀態1、3和5），度大於k的節點的子網路的大小 ∣S
>k
∣ 和 M（k， Δ） 的關係熱力圖。
考慮到時間性，就會發現一個更有趣的情況。圖4b顯示，對於每個持續時間
Δ
，時效富人俱樂部係數
M（k， Δ）
隨著
k
的增加而增加，並且
k
增加的節點組在越來越長的時間內同時相互連線。度數最大的 8 個神經元組以同時和穩定的方式非常強烈地相互連線（M（k， Δ）≥0。5）直到Δ=150。也就是說，在靜態聚集圖中看到的這8個神經元的完全連線連結結構確實在某個時間以同時的方式發生。
對應於整個時效網路上計算的時效富人俱樂部，神經元功能連線經歷了幾個“狀態”
。這些狀態由網路相似性矩陣的分層聚類確定
（圖4c）
。“狀態”是指相似度值較大的時期
（圖 4c 中沿對角線的紅色塊，下面是連續狀態的時間軸）
。即使時效富人俱樂部分析本身並不能揭示不同網路狀態的確切含義，但其結果至少表明，神經元網路中存在一個穩定期，並且在特定的時間段具有明顯的動態。這種狀態的發現，不僅僅有助於識別神經資訊處理的關鍵過程，如突觸可塑性，還能確定受到神經元相互作用時間的關鍵影響。
在一個細胞集合體中，許多神經元必須在一定時間內保持強烈的功能連線，以使集合體被檢測到。這種放電協調
（在空間上的分佈和時間上的持續）
只能被普通的方法部分地捕捉到，這些方法要麼尋求瞬時同步，要麼尋求順序放電。而時效富人俱樂部概念抓住了將一組共時的神經元定性為一個集合體所需的兩個標準。
因此，時效富人俱樂部指標能夠加入網路神經科學的工具箱，用於研究動態功能連線模式。總之，這項工作提供了一個新的程式來檢測時效網路中的相關時間和結構模式，使我們能夠從一個新的定量角度來看待來自非常不同領域的資料集的時間模式。
劉志航 | 作者
鄧一雪 | 編輯
商務合作及投稿轉載｜swarma@swarma。org
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