19世紀末洛倫茲的工作奠定了狹義相對論的基礎，其後龐加萊與洛倫茲的互動和相互啟發，直接催生了狹義相對論的誕生。1902年龐加萊明確指出，洛倫茲的理論意味了同時性的相對性；1904年洛倫茲發現了我們今天以他名字命名的時空變換；1905年龐加萊一錘定音地確立了狹義相對論的贗歐幾何結構。事實上，早在1881年龐加萊就發現了2+1維贗歐幾何的數學結構；1891年他又意識到，這是獨立於歐幾里得、羅巴切夫斯基和黎曼幾何的第四種幾何學。因為閔可夫斯基在狹義相對論上的最早工作是在1907年11月哥廷根數學學會上的報告，所以四維時空所構成的空間，在任何意義上都應該被稱為龐加萊空間，而不是閔可夫斯基空間。
在前三篇《龐加萊的狹義相對論》文章中，我們比較詳細地介紹了龐加萊在1905年之前對於空間與幾何、絕對運動與相對運動、時間的定義與測量、以太是否真的存在、物理學理論與原理的相容性等關鍵問題的思考。透過這些思考，（1）他最先提出了物理定律的相對性原理，主張不存在所謂絕對空間和絕對運動，而只存在物體間的相對運動。（2）他最先提出光速不變公設，認為這是談論兩段時間相等以及異地同時性的基礎。（3）他最先提出以太是否真實存在，那只是形而上學家的事情，終有一天會被認為是沒用的東西而遭拋棄。（4）他最先透過光訊號對異地時鐘進行同步的方法，得到了一級近似下的動系和靜系時間變換公式：
t
‘=
t
-
vx
/
c
2。（5）他最先意識到，一束電磁輻射等價於慣性為
m
=
E
/
c
2的一種假想流體（fictitious fluid）。
正是因為對於慣性系間相互運動和動體電動力學有如此係統而清晰的物理影象，所以在受到洛倫茲1904年最新研究成果的啟發後，他才能在1905年水到渠成地建立起完整的狹義相對論，向人們清楚揭示：我們所處的時空世界具有贗歐幾何的數學結構，並滿足洛倫茲群的對稱性。公平地說，假如沒有愛因斯坦的出現，狹義相對論也已經完全建立，並沒有什麼需要補充的了；至於物理學傢什麼時候才能弄明白龐加萊1905年的文章並接受它，那完全是另一回事了。這就是為什麼英國皇家科學院院士、劍橋大學三一學院的著名數學家Edmund Whittaker教授，在他1953年名著
A History of the Theories of Aether and Electricity （The Modern Theories
1900—1926）中，極具爭議地將狹義相對論這一章的標題就直接稱為“龐加萊和洛倫茲的相對論”（The Relativity Theory of Poincare and Lorentz）。
現在，我們想進一步考察1905年前後，龐加萊與洛倫茲、愛因斯坦和閔可夫斯基的互動和相互影響，試圖梳理一下狹義相對論產生的時代背景，以便儘可能地還原歷史的本來面目。因為這部分內容比原先想象的要豐富許多，如果全部放在一起講述會使文章的篇幅過長，所以筆者不得不臨時改變計劃，將它一分為二；本文先談龐加萊與洛倫茲和閔可夫斯基，下一篇再談龐加萊與愛因斯坦。
1 洛倫茲在19世紀末的奠基性工作
麥克斯韋發表於1856年的《論法拉第的力線》、1861年的《論物理力線》和1865年的《電磁場的動力學理論》這三篇劃時代的光輝著作，奠定了電磁學和光學的現代理論，但也留下不少尚待解決的問題，其中最醒目的當然是如何理解運動物體的電磁現象和光學現象，即動體的電動力學問題。它成為十九世紀末物理學研究的主流。毫無疑問，洛倫茲是整場轟轟烈烈的智力探索中那顆最耀眼的明星。
正是生長在英國、德國和法國三大文化包圍中的小國荷蘭，洛倫茲天生練就了博覽眾長的過人本領。他的電子論正是這樣一個揚棄各種前人理論的成功範例。由麥克斯韋建立，並由Heaviside和赫茲完善的麥克斯韋—赫茲方程組，將電荷和電流看作是場的衍生物，因此它是一元論的，完全不同於我們今天的電磁學和電動力學教科書上的影象。但是，法國和德國的傳統恰好相反，他們發展的是基於電荷和電流的超距相互作用理論，其中場是衍生的，因此也是一元論的。而洛倫茲的電子論是一個二元論的影象，其中，他將正負點電荷和除此之外的真空（或以太）中的電磁場看作同等重要的兩種實體；電流就是電荷的流動，而場的變換也可產生位移電流，由此建立了麥克斯韋—洛倫茲方程組，或稱微觀麥克斯韋方程組，它才是我們今天電磁學和電動力學教科書上的影象［1］。
將他的微觀方程組應用在物體上，並作宏觀平均後，洛倫茲得到了色散的第一個電磁理論。1892年，對以整體速度
v
在以太中運動的物體，他開展了類似的計算；他發現將入射波與運動點電荷發射的波疊加，可以成功解釋菲涅爾的the partial ether drag係數
，其中
n
是物體的折射率。
多年後被稱作洛倫茲變換式的最初想法就誕生於這一年。他考慮到一個在以太參照系（
x
，
y
，
z
，
t
）中光的波動方程：
經伽利略變換
之後，在運動參照系（
xr
，
yr
，
zr
，
tr
）中的形式會變得非常複雜，為了求解方便，他引入了新的座標變數：
其中，
。這樣一來，在（
x
’，
y
‘，
z
’，
t
‘）參照系下，波動方程變為
求解這個方程，馬上就能得到
ψ
（
x
’，
y
‘，
z
’，
t
‘），然後再由（3）最終求得
ψ
（
xr
，
yr
，
zr
，
t
）。因此，在洛倫茲的觀念裡，引進
x
’，
y
‘，
z
’，
t
‘，純粹是一個數學技巧，並沒有物理含義，而真正有物理意義的是以太的靜系（
x
，
y
，
z
，
t
），和經伽利略變換後的動系（
xr
，
yr
，
zr
，
tr
）。另外，從他最後的結果（4）式來看，洛倫茲也確實完全沒有相對性原理的概念，否則其中的光速不可能會是
，而應該與（1）式一樣都為
c
，這顯然是因為（3）式中的時間變換做錯了。順便提一下，如果我們將（2）式的
xr
=
x
-
vt
代入（3）式的第1式，立刻可知，洛倫茲在1892年就已將空間的變換做對了。
幾個月後，洛倫茲在《論運動物體對光的反射》一文中意識到，在一級近似下，略去（
v
/
c
）2項的（3）式將變成：
另外，洛倫茲又在1892年的《地球與以太的相對運動》一文中，為了解釋1887年的邁克爾遜—莫雷實驗，提出了著名的洛倫茲收縮的假設（當時他不知道FitzGerald已經提出過），即在以太系看來，相比靜止的杆子長度
l
，沿地球運動方向放置的杆子，其長度會收縮至
。
1895年，洛倫茲系統地整理了他之前的一系列工作，寫成了綜述性長文《動體電學和光學理論的嘗試》，這篇文章隨即成為狹義相對論誕生之前的經典之作。在這篇文章中，洛倫茲明確提出，解釋一級近似下動體的光學現象（略去（
v
/
c
）2項），只要有上面的（5）式就夠了。在這裡，他首次將
t
’稱作“局域時間”，因為它依賴於空間位置
xr
，而且它與真實時間
tr
完全不同；它們透過（5）式的最後一個公式相互聯絡起來。然而，對於解釋邁克爾遜—莫雷實驗，因為要考慮至（
v
/
c
）2項，所以他認為還必須引進沿運動方向的長度收縮假定。此時，相比1892年的收縮假定
，他意識到，長度收縮的嚴格比例已經包含在
中了，也就是Δ
xr
=
。很顯然，若保留至（
v
/
c
）2項，它就是之前的結果。
2 龐加萊與洛倫茲在1900—1904年間的互動
龐加萊於1885年開始擔任巴黎大學“物理與實驗力學”教授，1886年轉任“數學物理與機率論”教授。他於1888年春天開設了一門有關麥克斯韋電磁理論的課程，之後又於1889年、1892年、1899年分別開設了電動力學課程，系統地介紹了亥姆霍茲、赫茲、拉莫和洛倫茲的工作，並以他獨特的敏銳眼光得出結論：洛倫茲的理論最有希望，因為它包含了最多的真關係（rapports vrais，筆者注：指不依賴於模型和解釋的結果，見參考文獻［2］第140頁）。然而，在龐加萊的眼中，洛倫茲的理論遠非完美，甚至還存在著比較嚴重的問題。
1900年，龐加萊分別在巴黎召開的國際物理大會和在萊頓的慶祝洛倫茲獲得博士學位25週年學術會議上，對洛倫茲的理論提出了批評（後一篇文章的題目為《洛倫茲理論和反作用原理》，詳見《文三》）；這兩篇文章分別刊登在這兩個會議的論文集中，前者也收入在龐加萊1902年的名著《科學與假設》第九和第十章中。
（1）龐加萊對於洛倫茲理論的第一個尖銳批評，是他認為洛倫茲透過假設的堆積（accumulation of hypotheses）來解釋為什麼實驗上觀察不到地球相對於以太的運動，因此，相對性原理在洛倫茲理論中只是近似而不是嚴格滿足的。但龐加萊是相對性原理的篤信者，他這樣說：
“以太是否真的存在沒有什麼關係，那是形而上學家的事情。對我們而言重要的是，一切事情發生就像它存在那樣，這個假定（hypothesis）只是為了解釋現象的方便。說到底，我們有其他理由相信實物（material objects）的存在嗎？那也只是一個方便的假定，不過這個假定會永遠存在，但毫無疑問，總有一天以太會被認為是無用的東西而遭拋棄。”……
“我們的以太真的存在嗎？我們知道相信以太的原因。如果光從很遠的星球發向我們，其中的幾年時間它既不在那個星球上，也還沒有到達地球，它一定要在中間的某個地方，由某種物質支撐著。
同樣的想法也可以用比較數學和比較抽象的方式來表達。……在普通的力學中，一個系統的狀態僅僅依賴於最鄰近的前個時刻的狀態，因此係統滿足微分方程。如果相反，假如我們不相信以太，那麼這個物質世界的狀態將不僅依賴於最近鄰的前個時刻的狀態，而且還會依賴於時間早得多的那些狀態；這樣系統將會滿足差分方程。正是為了規避這種對力學一般定律的背離，我們發明了以太。
假如我們發現光學和電學現象受到地球運動的影響，我們將會得出結論，即這些現象向我們揭示了不僅僅是物體間的相對運動，而且似乎還有它們的絕對運動。若此，以太就是必須的，這些所謂絕對運動不是相對於虛空（void space）的位移，而是相對於某種實在東西的位移。
我們將會得到這個結果嗎（筆者注：指絕對運動）？我不存希望。……我相信這樣的希望是一種幻覺（illusory）；
我必須解釋一下，事實上，雖然洛倫茲相信，但我為什麼不相信更精確的實驗能夠得到除物體間相對位移之外的任何其他結果。展現一級效應（筆者注：指保留到
v
/
c
）的實驗已做，結果全是否定的；這會不會是碰巧？沒人這麼認為，因此大家尋找一般的解釋，洛倫茲找到了；他已經展示為什麼在一級效應中各項必須相互抵消，但二級效應不會相互抵消（筆者注：指保留到（
v
/
c
）2項）；然後，更精確的實驗做了（筆者注：指邁克爾遜實驗），它們仍然是否定的；這也不會是碰巧，必須有一個解釋，解釋找到了（筆者注：指洛倫茲提出的長度收縮）；
解釋總能找到，假設是永遠不缺的（of hypotheses there is never lack）
。
但這還不夠：誰會不覺得這仍然給巧合留了太大的角色？會不會那仍然是一種碰巧，某種奇異巧合使得某種情況恰好在關鍵時候消掉了一級項，而另一種情況，出於完全不同的原因，恰好又消掉了二級項？
不，我們必須找到一種解釋，它既能解釋一級效應也能解釋二級效應，並且所有的一切都導致我們思考，這個解釋對更高階的效應同樣有效，並且這些項的相互抵消是嚴格和絕對的。”［2］
（2）龐加萊對於洛倫茲理論的第二個尖銳批評，是他認為在洛倫茲理論中，作用與反作用力原理（筆者注：即動量守恆原理）不再成立，至少把該原理僅用在物體（material objects）上是如此。事實上，洛倫茲自己在1895年也已經注意到這件事，但他顯然不覺得這是什麼大問題：“就我看來，沒有什麼強迫我們把這個原理提升到一個任何情況都有效的基本定律”；恰恰相反，龐加萊卻覺得這是一個極其令人不安的嚴重問題。因為他發現，相對性原理和作用與反作用力原理存在密切的相互關聯，要麼同時成立，要麼同時不成立，所以如果後者不成立，那就意味者前者也不成立，這對龐加萊當然是不可接受的。
除了上面兩點批評之外，他們在對待動體電動力學看法還存在著一個明顯的分歧。正如《文一》中洛倫茲自己所說，他認為在動系
S
‘中引入的局域時間、空間座標及場量等只是一種數學技巧，不存在真正的物理意義，而只有在重新轉換成靜系
S
中的對應量才是真實的；恰恰相反，因為龐加萊不相信以太、不相信絕對運動、同時又篤信相對性原理，所以他很自然地將洛倫茲的局域時間、空間座標和對應態，解釋成
S
’中觀察者所看到的真實體系的表觀狀態（apparent states）。特別是，龐加萊還用光訊號校準時鐘的方法，直接匯出了一級近似下洛倫茲用ad hoc方式得到的
S
‘中的“局域時間”與S中的“真實時間”的關係
。
在《文三》中，講到此處，我們提了一句：“事實上，有了此式（
），同時性的相對性就已經有了，而不必非要嚴格的洛倫茲變換式不可”。或許，敏感的讀者會對這個說法有所保留，這會不會是筆者事後諸葛亮式的過度解讀？因為不知從何時起，同時性的相對性似乎已成了狹義相對論一個最重要的標誌，所以一般人很難想象，在1905年之前龐加萊怎麼可能會有這樣的概念。或許還有人會引經據典加以反對。比如，楊振寧先生在《愛因斯坦：機遇與眼光》一文中這樣說：
“事實上，相對性（relativity）這一名詞的發明者並不是愛因斯坦，而是龐加萊。龐加萊在1905年的前一年的演講（載於《新世紀的物理學》，
Physics for A New Century
，AIP Publication on History，Vol。5，1986）中有這樣一段：根據相對性原則，物理現象的規律應該是同樣的，無論是對於固定不動的觀察者，或是對於做勻速運動的觀察者。這樣我們不能，也不可能，辨別我們是否正處於這樣一個運動狀態。
這一段不僅介紹了相對性這個概念，而且顯示出了異常的哲學洞察力。然而，龐加萊沒有完全理解這段話在物理上的意義：同一演講的後幾段證明他沒有抓住同時性的相對性（relativity of simultaneity）這個關鍵性、革命性的思想。
愛因斯坦也不是首位寫下偉大的轉換公式的人。……之前，洛倫茲（H。 A。 Lorentz，1853—1928）曾寫出這個公式，所以當時這個公式以洛倫茲命名，現在仍然是這樣。可是洛倫茲也沒能抓住同時性的相對性這個革命性思想。……
這就是說，洛倫茲有數學，但沒有物理學；龐加萊有哲學，但也沒有物理學。正是二十六歲的愛因斯坦敢質疑人類關於時間的原始觀念，堅持同時性是相對的，才能從而打開了通向微觀世界的新物理之門。”
事實真像楊先生講的這樣嗎？不是！早在愛因斯坦發表狹義相對論論文前三年的1902年1月28日，龐加萊聯合了多名學者（包括普朗克和倫琴等）致信諾貝爾獎評選委員會，提名洛倫茲作為當年諾貝爾物理學獎的候選人；結果，洛倫茲1902年也確實獲了這個獎。在詳細羅列洛倫茲的突出學術貢獻的這封信中，有如下這樣一段話（原文見圖1）：
“比如，為什麼所有企圖測量地球運動的實驗都失敗了？很明顯，這有一個普遍的原因。洛倫茲先生髮現了這個原因，並巧妙地以他發明的“局域時間”這一異乎尋常的形式表達出來。
兩個發生在不同地點的現象可以看起來是同時發生的，儘管它們實際上並不是同時發生的；一切都發生著，就好像其中一個地方的時鐘比另一個地方的時鐘延遲了，而且沒有任何可想象的實驗能夠揭示出這種不調和。
根據洛倫茲先生的說法，現在地球運動的影響只會產生一個類似的任何實驗都無法揭示的不調和。”（Why， for example， all the experiments attempted to detect the movement of the Earth， have they given negative results？ It was obvious that there was a general reason for this； this reason， Mr。 Lorentz discovered it and he put it under a form striking by its ingenious invention of “reduced time”。 Two phenomena that take place in two different places may seem simultaneous even though they are not； everything happens as if the clock of one of the places were behind that of the other and as if no conceivable experiment could reveal this discordance。 According to Mr。 Lorentz， now the effect of the movement of the Earth would only give rise to a similar discordance that no experiment could reveal。）
［3］
圖1 龐加萊等人致諾貝爾獎評選委員會的信件
很顯然，龐加萊在這裡是嘗試以普通人能明白的語言，來解釋洛倫茲的一個重大創新，即局域時間
的不可思議的後果。具體而言，劃線部分的上半句講的是，對靜系
S
中的“不同地點”（Δ
x
=
x
2-
x
1≠0），“實際上並不是同時發生”（Δ
t
=
t
2-
t
1≠0）的兩個現象，在動系
S
’中卻“可以看起來是同時發生的”（Δ
t
′=
t
2′-
t
1′=0）。這不就是有關同時性的相對性最簡潔、最清晰的闡釋嗎？事實上，龐加萊不僅是史上提出異地同時性問題（issue）的第一人（1898年，見《文三》），而且毫無疑問也是史上意識到同時性的相對性的第一人（1902）！另外，劃線部分的下半句講的是，除了
S
與
S
‘座標重合（
x
’=
x
=0）的最初時刻（
t
‘=
t
=0）外，之後在
S
與
S
’中的時鐘指示都不一樣，即“不調和”，也就是說，在動系
S
‘中的時鐘總是比在靜系
S
中的時鐘早了
（對
x
>0）。
需要特別指出的是，這裡講的
S
’和
S
中時鐘的不同步，與時間膨脹還不是一回事，後者只有透過嚴格的而不是一級近似下的洛倫茲變換式才能顯現出來，這是之後龐加萊和愛因斯坦於1905年所獨立得到的結果。
當然，細心的讀者應該不難發現，上面所引龐加萊的整個這段話，事實上都是龐加萊自己對於洛倫茲“局域時間”的理解和解釋，但卻把功勞全部歸在洛倫茲的頭上，而洛倫茲一直認為在動系
S
‘中的時間根本沒有真正的物理意義。
最後，我們想說，雖然同時性的相對性確實是一個重要的新思想，但它並不是愛因斯坦首先發現的，而是洛倫茲和龐加萊共同創造的結果；另外，同時性的相對性也只是伽利略變換中
t
’=
t
不再成立（一級近似下的洛倫茲變換即可）的一個必然結果，而非狹義相對論（嚴格的洛倫茲變換）最重要的一個標誌。順便提一下，楊先生所說的“同一演講的後幾段”，我們會在下一篇文章詳細引用並加以說明。
對於龐加萊的兩個批評，洛倫茲是認真對待的，但他對這兩個批評的反應不太一樣。1901年1月20日，洛倫茲給龐加萊寫了一封信，首先感謝他能來參加自己的慶典，接著對龐加萊試圖挽救作用與反作用原理的想法，做了8頁信紙的反駁。其中，他這麼說道：“但是，我們真的必須為此煩惱嗎？”而且還直截了當地加上：“我必須向你宣告，對我來說，不可能透過修改理論而消除你所提出的這個困難。”
然而，對於“堆積假設”的批評，洛倫茲的態度完全不同。經過長期的思考和不斷嘗試，他終於在1904年6月發表了一篇非常重要的文章：《任意小於光速運動的體系中之電磁現象》，在綜述了各種測量地球相對於以太運動實驗的失敗後，他這樣說：
“剛才談論的這些實驗並不是重新審視與地球運動相關問題的唯一理由。龐加萊對動體電學和光學現象的現有理論提出了批評。為了解釋邁克爾遜實驗，需要引入新的假設，那麼是不是每來一個新的事實就需要引入新的假設呢？顯然，為每一個新的實驗結果而引入特殊假設的做法有點任意。如果不可能借助一些基本的假定，同時不作一級或二級等各級近似，就能證明許多電磁現象完全與系統的運動無關是更加令人滿意的。幾年之前（1899），我已經開始嘗試構建這樣的理論了。現在，我相信已經能夠比較好地處理這個問題了，唯一的限制就是要求（體系運動的）速度小於光速。”
正是在這篇文章中，他第一次正確地給出了至今以他名字命名的洛倫茲變換式：
其中，
l
是一個依賴於
v
的常數。
乍一看，這似乎與我們今天熟悉的洛倫茲變換很不一樣。原因在於洛倫茲一直用三套座標系來討論動體的電動力學，即以太靜系（
x
，
y
，
z
，
t
），伽利略變換後的動系（
xr
，
yr
，
zr
，
tr
），以及為求解方便所引進的（
x
‘，
y
’，
z
‘，
t
’），前兩者以（2）式相關聯，後兩者以（6）式相關聯。與洛倫茲相比，龐加萊看待動體電動力學的方式很不一樣，在他的頭腦中，只有靜系（
x， y， z， t
）和動系（
x
‘，
y
’，
z
‘，
t
’），因此，我們今天所熟悉的洛倫茲變換形式的第一次出現，是在龐加萊的1905年《六月文章》中（將（2）式代入（6）後即得）：
另外，洛倫茲在1904年這篇文章中的另一個重要結果是，他得到了電子的橫向和縱向質量隨速度的正確依賴關係：
1904年9月，龐加萊在美國聖路易斯的國際藝術和科學大會的應用數學分會發表了“數學物理的現在與未來”的著名演講。他簡要回顧了牛頓的向心力概念無法解釋電磁現象的第一次數學物理危機後，詳細談論了數學物理正面臨的第二次危機。其中對洛倫茲前面給出的對牛頓反作用原理的反駁給出了迴應，他這樣說：
“這個原理，如果這樣解釋的話，便能解釋一切，因為對任何可見的運動，我們總能想象存在著假想的運動加以補償。但是，如果它能解釋一切，便意味著不能讓我們給出任何預言；它也就無法讓我們在各種假設中做出選擇，因為它事先已經解釋了一切。這個原理也因此變得完全無用了。……所以，有關以太運動所做的假定是不能令人滿意的。……這就是為什麼我長期以來一直想著，這個理論中與牛頓原理衝突的結果有一天終將被拋棄。”［4］
從今天的角度看，龐加萊當然是對的。事實上只有像他推導的那樣，將物質和電磁場的動量都考慮進去，總動量才是一個守恆量；而用量子的觀點看，也就是說，只有將物質和光子一同考慮，總動量才是守恆的。在文章的最後，龐加萊對物理學的未來給出了先知式的預言：
“也許我們將不得不構造一個全新的力學，目前我們只瞥見了一點，在那裡，慣性隨速度的增加而增加，光速將是一個無法超越的極限。普通的、簡單的力學將會作為一級近似而得到儲存，因為它對於速度不是太大的速度仍是有效的，以至於我們仍將在新的力學中找到那個老力學。”
3 龐加萊的一錘定音
現在我們將介紹龐加萊如何從洛倫茲的最新結果，一錘定音地建立了完整的狹義相對論的思考過程。非常幸運的是，洛倫茲儲存了1905年4—5月龐加萊給他的信件，這使得我們能清晰地再現龐加萊這位大數學家、大數學物理學家，在狹義相對論突破的前夜，如何在黑暗中一步步摸索的過程。由於法國人寫信一般不習慣明確給出日期，因此後人只能根據當時兩人之間發生的一些歷史事件，來重構寫信的確切時間視窗。
1905年4月21—27期間的某一日，龐加萊給洛倫茲去信，抱歉他因為臨時有急事而錯過了在法國巴黎物理學會為洛倫茲舉辦的招待會，並告知收到了洛倫茲近來給他的研究論文，其中應該包含前面提到的那篇1904年的重要論文。1905年5月的某天，龐加萊又給洛倫茲寫了一封信，他這麼說：
“我已經花了一些時間詳細研究你的論文《任意小於光速運動的體系中之電磁現象》，一篇極其重要的論文；其中一些重要結果我已經在我的聖路易斯演講中引用了。我同意你所有的要點，然而在細節上有點差別。”
接下來，龐加萊糾正了洛倫茲文章中的兩個錯誤，如我們在《文二》中所述，一個是有關電荷密度和電流密度的變換結果，另一個是洛倫茲力的變換式；龐加萊進一步指出，即使力並不是電磁起源的，這個變換式依然成立。最後，龐加萊告訴洛倫茲，他碰到一個大麻煩。正如我們在《文二》中所述，他發現從最小作用量原理出發的推導，唯一正確的模型（即滿足相對性原理）竟然不是洛倫茲的模型（
l
=1），而是朗之萬的模型（
l
3=
），同時他認為洛倫茲證明
l
=1的過程不能令人信服，因此這個問題還不確定。
圖2 1905年5月，龐加萊致信洛倫茲
可惜我們沒有洛倫茲對龐加萊這封信的回覆，但我們有之後1905年5月的某一天，龐加萊給洛倫茲回的信，這是一封歷史價值極高的信件，如圖2所示。正是在這裡，龐加萊發現了整個現代物理學基石之一的洛倫茲群：
“我親愛的同事，謝謝你的來信，自從上次給您寫信之後，我的想法有些變化。”
然後，如他在1905年《七月文章》第四節中所做的那樣，三下五除二地證明了洛倫茲變換構成了一個群，並用今天來說極其簡單的群論基本知識，乾淨徹底地證明了洛倫茲模型
l
=1。另外，他告訴洛倫茲，在用朗之萬模型進行電子質量計算時，他發現藉助電磁運動量、最小作用量、能量方法得到了不一致的結果。最後他說希望能儘快澄清這個矛盾，並將他的進展通告洛倫茲。
果然，在之後的1905年5月的某一天，他給洛倫茲寫了下面一封信，標誌著龐加萊一錘定音，完整建立狹義相對論的歷史時刻！
“我親愛的同事，我繼續著我和你提過的研究。我的結果在下述意義上完全確認了你的結果，即完美的補償（阻礙絕對運動的實驗測定）只有在l=1的假設下才可能完全做到。只是這個假設若被允許的話，我們必須承認每個電子都受到一個附加力的約束，其所做的功正比於電子體積的變化。或者說，每個電子就像一個空腔，其內壓是一個與體積無關的負的常數。在這樣的條件下，補償是完整的。
我很高興發現自己與你達成完全的一致，因此對你的漂亮的工作達到了完美的理解。
您忠誠的同事
龐加萊”
如果將龐加萊給洛倫茲的這幾封信，與我們的《文一》和《文二》結合起來閱讀，則龐加萊1905年的狹義相對論論文（《六月文章》和《七月文章》）的整個創立過程就全部清楚了。如果僅從洛倫茲和龐加萊的互動和相互啟發的角度來看，Whittaker將狹義相對論稱作“龐加萊—洛倫茲的狹義相對論”確實有一定的合理性；如果再考慮到愛因斯坦與龐加萊幾乎同時也獨立建立了狹義相對論這一事實，筆者以為，把狹義相對論稱為龐加萊—愛因斯坦狹義相對論是最合適的。
4 洛倫茲對龐加萊的致敬
龐加萊不幸於1912年因病去世，年僅58歲。1914年，洛倫茲為
Acta Mathematic
雜誌組織的龐加萊紀念專集撰寫了《亨利·龐加萊在數學物理上的兩篇論文》［5］，向龐加萊致敬。他這樣說：
“以下寥寥數頁根本無法完整說明龐加萊對理論物理學的貢獻。……我將僅限於談及他的兩篇論文，一篇關於電子動力學的論文，寫於1905年並於次年發表於
Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo
，另一篇關於量子理論的研究，1912年初發表於
Journal de Physique
。
為了充分欣賞他的第一項工作，我將不得不詳細介紹那些導致相對性原理的想法。因此，我得談一點我自己對這一發展有貢獻的那部分，首先我必須說，我在龐加萊對我的研究持續注入的善意興趣中發現了寶貴的鼓勵。而且，我們很快就會看到他在多大程度上超過了我。……”
其中，他談了我們前面講過的1900—1904年間他們的互動，特別是龐加萊的批評。接著，他說：
“這些是我在1904年文章中的考慮，它促使龐加萊寫出了他關於電子動力學的論文，他在論文中將我的名字與我將要談到的變換式聯絡起來。關於這個問題，我必須說，同樣的變換式在Voigt先生1887年發表的一篇文章中已經出現，而我並沒從這個技巧中汲取所有可能的部分。確實，對於某些公式中的一些物理量，我並沒有給出最適合的變換（筆者注：就是那些龐加萊指出的他變換錯的物理量，如電荷密度等）。
這是由龐加萊然後由愛因斯坦先生和閔可夫斯基先生完成的。
（That was done by Poincaré and then by Mr。 Einstein and Minkowski。）
然後，他談到了我們在《文一》中引過的下面這段話：
“（龐加萊《七月文章》的）公式（4）和（7）在我的1904年文章中是沒有的，我甚至不知道存在一種直接的路徑匯出它們，因為我認為（
x
，
y
，
z
，
t
）和（
x
‘，
y
’，
z
‘，
t
’）這兩個參照系存在本質差別。這是我當時的思路：其中一個參照系的座標軸是固定在以太中的，那裡有真實的時間；而在另一個參照系中，恰恰相反，我們只涉及（deal with）一些為數學技巧而引進的輔助量。……因此，比如變數
t
‘不能被看作是與變數
t
相同意義上的時間。在這樣的考慮下，我完全沒有意願按（
x
，
y
，
z
，
t
）參照系中描述現象的方式去描述（
x
’，
y
‘，
z
’，
t
‘）參照系中的現象。……我沒能證明麥克斯韋方程組的完全協變性；我的公式中還存留了一些本應消失的累贅項，只是它們在數量上很小而不會影響現象，我就是據此來解釋地球的運動不會影響實驗的觀察，但是我沒有建立起作為嚴格而普適真理的相對性原理。
恰好相反，龐加萊證明了電動力學方程的完全協變性，並準確表達了“相對論假定”——一個由他引入的術語。
事實是，正是採用了我沒能想到的觀點，他匯出了公式（4）和公式（7）。還應該補充一點，在糾正我工作中的那些缺陷時，他從未有過任何對我的責備。”
然後他繼續說：
“我無法在這裡解釋龐加萊獲得的所有漂亮結果。然而，讓我們堅持談一些觀點。首先，他不滿足於證明相對論變換（筆者注：就是我們所稱的洛倫茲變換）將保持電磁方程形式不變。他是透過注意到這些方程能以最小作用原理的形式表達出來，而表達這個原理的基本方程以及我們推導電磁場方程的那些操作在（
x
，
y
，
z
，
t
）和（
x
’，
y
‘，
z
’，
t
‘）參照系中具有相同的形式，來解釋這一變換成功的原因。……
其次，與他論文的標題一致，龐加萊特別考慮了運動電子形變的方式，根據相對論假設的要求，它需要與邁克爾遜先生實驗裝置上兩臂的變形方式相容。……這個粒子——我們在此考慮一個帶有表面電荷的圓球——會立刻因為相互排斥力或者說表面麥克斯韋應力而爆炸。因此，另一個概念也應該被引入，並且龐加萊在此區分了“結合”和“附加”力。……因此，我們必須求助於這個附加力。……
在他文章的最後一部分，有一些新概念我必須說一下。Poincaré注意到，例如，如果將（
x
，
y
，
z
， i
t
）視為四維空間中一個點的座標，則相對論變換式（筆者注：仍指我們所稱的洛倫茲變換）便簡化為該空間中的旋轉。
他也想到了在力的三個分量
X，Y，Z
上加上另一個量：
這不是別的正是單位時間該力所做的功，而且可以（在某種程度上）被看成是力的第4分量。
當我們關心物體單位體積所承受的力時，（
X
，
Y
，
Z
， i
T
）這組量的相對論變換式與（
x
，
y
，
z
，
t
）的方式完全相同。我之所以記得龐加萊的這些想法，是因為它們與後來Minkowski和其他科學家用於相對論數學運算的方法相類似。”
因為在通往狹義相對論之路上，洛倫茲是公認的先驅者而具有特殊的地位，所以他以自己的親身經歷，對龐加萊在狹義相對論上所作貢獻的這番翔實、公正和蓋棺定論式的總結，確實是一份難得的科學史檔案。
5 閔可夫斯基空間是怎麼一回事？
或許有讀者會感到奇怪，為什麼談論龐加萊的狹義相對論，非要扯上閔可夫斯基呢？道理很簡單，雖然龐加萊的名字在有關狹義相對論的各類教科書和文獻中很不幸地消失了，但閔可夫斯基的名字卻因為閔可夫斯基空間而與洛倫茲和愛因斯坦的名字一起長存下來。例如，著名的“朗道理論物理學教程”第2卷《場論》第4頁就這樣寫：“
由（2。4）式
給出的四維幾何描述是由閔可夫斯基在相對論中引入的。有別於普通的歐幾里得幾何，這種幾何被稱為贗歐幾何。
”這實在是一個歷史的大誤會，很值得八卦一下。
1907年左右，閔可夫斯基在科學上的名聲還主要來自他在數論方面的工作；在力學和數學物理上，他只有1906年發表了一篇有關毛細現象的論文。他1902年開始在哥廷根大學擔任數學教授，或許是受到新同事的影響，他開始對電子理論發生了興趣；1905年夏天，他與希爾伯特等人共同主持了這方面的一個學術討論班。閔可夫斯基有關狹義相對論研究的第一次有據可查的亮相，是1907年11月5日在哥廷根數學學會上的演講——“相對論原理”，他一直保留著這篇演講的手稿，但似乎並沒打算正式發表它；閔可夫斯基1909年1月因急性闌尾炎去世，年僅44歲；這篇文章最後經過索末菲的整理於1915年正式發表［6］。閔可夫斯基的演講如此開頭：
“從光的電磁理論出發，近來我們有關空間和時間的概念似乎正在經歷一場徹底的變化，一個數學家必定特別有興趣去了解它。他也特別傾向於吸收這些新觀點，因為他對這些數學家早已非常熟悉的概念一點也不陌生，但物理學家目前正在部分地重新發明這些概念並在模糊不清的叢林中艱難地團結起來穿越一條小路，而數學家的這條路早已精心鋪設，就在附近舒適地向前延展。總的來說，如果這套新方法果真能正確地解釋實驗現象，那將意味著迄今為止應用數學的幾乎最大的勝利。重要的是，儘可能簡潔地說——我馬上會解釋——時空世界在某種意義上是一個四維非歐幾里得流形。這是數學家的榮耀，也讓其他的人類無比驚訝，很顯然，數學家純粹是在他們的想象中開闢了一片廣闊的領域，然而這些理想的夥伴從來沒有這樣的意圖，最完美的真實存在（the most perfect real existence）有一天將會真的走上他們的路。”
以職業演說家的華麗修辭，如此煽情地對著自己的同行談論科學問題，這在當年絕對是罕見的。接著他這樣說：
“我今天要向你們報告的相對性原理，旨在解釋這樣一個事實，即所有企圖確定地球相對於光介質、相對於以太運動的嘗試都必然失敗。……為了解釋這個否定的結果，H。 A。 Lorentz（1892）和Fitz Gerald（1893）提出了這樣一個假設，即由於地球的運動，物質沿地球運動方向上的長度會發生非常特別的收縮。從這一聽上去極其奇怪的假設出發，相對論公設最終以一種數學家特別容易理解的形式發展起來。愛因斯坦、龐加萊和普朗克對這個普遍原理的詳盡闡述功不可沒，關於他們的工作，我下面會詳細敘述。
現在終於要開始談實事了，我把我的評註（remarks）分成四個部分，我想用關鍵詞：1。電，2。物質，3。動力學，4。萬有引力。”
熟悉龐加萊《七月文章》的讀者不難發現，閔可夫斯基這篇分了四個部分的文章結構與前者非常相似，而且在文章的第四部分明確地引用了《七月文章》，可見他對龐加萊這項工作還是挺熟悉的。有趣的是，上面這段引文來自經過索末菲修改後正式發表的文章，閔可夫斯基自己的手稿是這樣寫的［7］：
“談到個人的功績，源於洛倫茲思想的基礎，愛因斯坦更清楚地發展了相對性原理，同時將它特別成功地應用到處理運動介質光學中的一些特殊問題上，而且最終也是第一個得出在熱力學過程中力學質量可變結論的人。不久之後，而且毫無疑問是獨立於愛因斯坦，龐加萊將相對性原理擴充套件到對洛倫茲電子和對萬有引力更數學化的研究中。最後，普朗克探尋了基於相對性原理的動力學基礎。”
從這段引文的敘述不難判斷，閔可夫斯基雖然讀過龐加萊的《七月文章》，但顯然也沒有讀懂文章中比較物理的那部分，否則，他不應該不明白，普朗克的工作實際上已經基本包含在其中了（見《文二》）。所以說，龐加萊的《七月文章》實在太超前了，確實是真的難懂；物理學家讀不懂其中比較數學的那部分，而數學家又讀不懂其中比較物理的那部分。
現在，讓我們繼續看閔可夫斯基接下來寫了什麼，他的第一部分這樣開頭：
“首先，我們對洛倫茲將其作為電子理論基礎的那些微分方程（筆者注：即Maxwell—Lorentz方程）——它們主宰了純以太以及包含電荷的無限空間中的電磁場行為——建立一種純粹的數學關係或說某種形式特徵。除了不依賴於空間直角座標系的選擇之外，這些基本方程還具有某種進一步的對稱性，這在以往的文獻中沒有被表達過。我想要做的是，順便說一下，沒有一個作者提過，甚至龐加萊，從頭開始就表達這種對稱性，事實上這樣就會使這組方程的形式顯得異常透明。設
x
，
y
，
z
為空間（以太中）的直角座標，
t
為時間。下面，我們將與二次型
x
2+
y
2+
z
2-（
ct
）2打交道，這裡
c
表示光在真空中的傳播速度。可以選擇時間的單位，讓
c
=1。我們用
x
1，
x
2，
x
3代替
x
，
y
，
z
，用
x
4代替i
t
。很自然，以下的
x
4總是一個純虛數。上述平方項就變成下面的形式：
我們現在將以
x
1，
x
2，
x
3，
x
4的四維流形的形式來處理問題。”
接下來，閔可夫斯基利用四維電磁勢，寫下了洛侖茲規範下的四維形式的麥克斯韋方程組，以及四維形式的功能定理。同時，他定義了之後以他名字命名的電磁張量（筆者注：他並未使用張量這個詞），並將它與（
E
，
H
）聯絡起來。第一部分這樣結尾：
“很顯然的一個數學事實是，以我的方式寫下來的這些方程，與相對性原理就聯絡起來了。假定在保證
不變的情況下，用純實數線性變換的方式，引入新的座標系
x
’，
y
‘，
z
’，
t
‘以替代座標系
x
，
y
，
z
，
t
，並且相應的以
x
1
，
x
2
，
x
3
，
x
4
變換的方式去變換（
c
A
，
φ
），那麼整套公式系統就自然地處在帶撇的座標系中了。顯而易見，無需增添任何之前所不存在的新定律，我們可以說，電子理論的基本方程組允許四維空間的正交變換。”
很顯然，有大名鼎鼎的大數學家龐加萊的《七月文章》在先，當著這麼多數學同行的面，閔可夫斯基在這篇文章中，從頭至尾決不可能也絕無可能想將四維時空（即現在人們所稱的閔可夫斯基空間）、四維時空不變數、贗歐幾何這些完全由龐加萊引入狹義相對論的基本概念佔為己有；雖然他在講這幾個概念時都沒有明確引用龐加萊，但人們一般會認為他是在用自己的語言闡釋龐加萊引入的思想；最多他只是說，他是第一個把四維時空作為出發點來進行數學演繹的人而已。然而他的這個說法，恰恰驗證了我們在《文一》中反覆提到的龐加萊對世人所開的玩笑：
“龐加萊的第二個“玩笑”，開在對《七月文章》正文的章節安排上。……其中，他竟然把自己在相對論中最重要、影響最深遠、也最能體現他遠超洛倫茲的原創貢獻，放在第4節而不是第1節，並且冠以《4。洛倫茲群》的標題。……只要細心研讀過《六月文章》和《七月文章》的人，一定不難發現，龐加萊如此安排的唯一目的，就是為了突出洛倫茲的功績，而不想以自己的工作來喧賓奪主。從今天的角度回頭看，這個“玩笑”開得太大、後果太嚴重了。因為李群和李代數對當時的大多數學家而言，也是新鮮且抽象的理論，對當年的物理學家來說，當然實在太超前、太高深了，幾乎無人能懂，所以如果放在第一節，至少能讓人知道這是全文的基礎，引起人們的重視；但現在放在了第4節，確實與第3節和第5節的內容上下不搭，除了知道洛倫茲變換構成一個群外，別的似乎都是一些不知所云的數學細節；無疑，這種“奇怪的”章節安排，客觀上確實嚴重阻礙了龐加萊的相對論在物理學界的傳播。否則，他對狹義相對論的原創性貢獻，無論如何也不會被同代和後代人誤讀。”
閔可夫斯基有關狹義相對論研究的第二次亮相，是一個月後的1907年12月21日，在哥廷根科學學會上的演講——“動體電磁過程的基本方程”［8］。前一個演講，可以被看作是閔可夫斯基對當下狹義相對論研究現狀的綜述，加上一點自己的初步工作；而這個演講是有關他自己所做工作的學術報告，相應的學術論文以同樣的題目於次年正式發表。在前個演講中，龐加萊的名字被提及了6次；在這個演講中，龐加萊的名字被提及2次，一次在文章結尾處有關萬有引力的一個註釋中，另一次在文章的引言中，具體如下：
“特別是，洛倫茲的理論解釋了地球相對於光以太不存在相對運動；它表明這一事實與時空座標同時變換後方程的協變性是相互關聯的，這組變換從亨利·龐加萊那裡得到了洛倫茲變換的名稱。”
在此，閔可夫斯基明確引用了龐加萊的《七月文章》。顯然，閔可夫斯基這篇文章在許多地方都談及了四維時空和四維時空不變數，但對一個不瞭解龐加萊前期工作的人，一定會誤以為這些東西都是閔可夫斯基自己的想法。因此，無論是從今天還是當年的角度看，嚴格地說，這已有學術不規範的嫌疑了；但無論如何，他畢竟明確地引了龐加萊的《七月文章》，還算不上學術不端。客觀地說，閔可夫斯基的第一篇文章［6］，除了極少數研究科學史的專家，幾乎無人知曉；他的這篇文章［8］，卻是當年動體電動力學方面的一篇名文，著名的閔可夫斯基電磁張量等現今電動力學教科書中的內容都出自於此，但比起他的第三篇文章，這篇文章仍然屬於小眾的。
閔可夫斯基有關狹義相對論研究的第三次也是最亮麗的一次露臉，是1908年9月21日在科隆第80屆自然科學家大會上的演講——“空間與時間”［8］。在這個演講的開頭，閔可夫斯基再次展現他那高超的演說才能；一百多年來，在某種意義上說，這段話幾乎成了狹義相對論的代名詞：
“我要在你們面前闡述的時空觀產生於實驗物理的土壤，它們的力量也源於此。這些觀點是根本性的。從此刻起，空間本身和時間本身註定會消失在陰影中，只有兩者的結合才具有獨立的真實。”
在這個演講中，閔可夫斯基自然是提及了洛倫茲、愛因斯坦和普朗克，而且還提到了邁克爾遜、Voigt、Schuetz、Lienard、Wiechert、Schwarzwald等多位科學家的名字，並且明確引用了他們的論文。
但令人震驚的是，他竟然唯獨沒有提到他最應該提到的龐加萊的名字，更不必說引用龐加萊的《七月文章》了！
多年來，無數學者都注意到了這個事實，但沒有人認為這是閔可夫斯基的一時疏忽，更沒有任何人能給出一個哪怕自圓其說的合理解釋［7］。無論是從今天還是當年的角度看，這已有點觸及到學術誠信規範的底線了！極具諷刺意味的是，“閔可夫斯基空間”正是在這樣的歷史背景下產生的。
你也許一定會問，難道當年就沒人覺得這很奇怪嗎？顯然不是。因為這部分內容涉及非歐幾何，對當年的物理學家，包括愛因斯坦，都完全是生疏的知識，因此物理學家很難做出真正有價值的判斷，這或許能解釋為什麼會沒有物理學家就此評論的任何資料。但那些瞭解和跟蹤電子論發展的數學家就不一樣了，不少人認為龐加萊是狹義相對論的奠基者，這也就是為什麼龐加萊會被多次提名獲得諾貝爾物理學獎的道理。比如，
Acta Mathematica
的主編Gustav Mittag-Leffler1909年7月7日給龐加萊寫信，告訴他斯德哥爾摩的數學家Ivan Fredholm指出，閔可夫斯基只是給了龐加萊的想法一種不同的表達：
“您毫無疑問知道閔可夫斯基的小冊子，他死後發表的“空間與時間”，以及愛因斯坦和洛倫茲在同一問題上的想法。現在，Fredholm先生告訴我，您比他們都更早地觸及了類似的想法，只是用較少的哲學方式、更多的數學方式來進行表達。”
很顯然，數學家Mittag-Leffler和Fredholm都以他們的方式，對閔可夫斯基在演講中不提龐加萊的名字和文章做出了反應［7］。
另外，蘇聯時期的數學家B。 A。 Rosenfeld，在他1976年的著作《非歐幾何的歷史》第七章的其中一節“作為一種贗歐幾何空間的狹義相對論時空”中，介紹了龐加萊在1905年的《七月文章》中得到的一些重要數學結果：
（1）龐加萊發現洛倫茲變換構成了一個群，並稱之為洛倫茲群；他進一步指出，屬於這個群的任意變換，都可看作是保持四維間隔
x
2+
y
2+
z
2-（
ct
）2不變的一個線性變換。
（2）龐加萊定義了我們今天所稱的贗歐幾何空間：
“我們將（
x
，
y
，
z
，i
ct
），（
δx
，
δy
，
δz
，i
cδt
），（
δ
1
x
，
δ1y，δ1z，icδ1t ）看作是四維空間中三點P，P ’，P ‘’的座標。顯而易見，洛倫茲變換所表達的恰恰就是在這個空間中關於固定原點的轉動。”
在介紹完龐加萊的相關工作之後，Rosenfeld接著寫道：“另一位獲得狹義相對論時空想法的數學家是閔可夫斯基”，然後引用了“空間與時間”演講（1909年正式出版［9］）中的幾段文字，最後Rosenfeld以下面這段話結尾：
“龐加萊的論文‘論電子的動力學’發表在一個專業的數學期刊上，物理學家相當長時間都不知曉。
這解釋了為什麼描寫狹義相對論時空的四維贗歐幾何空間，會常常被稱作閔可夫斯基空間，而不是更恰當地被稱作龐加萊空間。
”
所以說，數學家還是很明白的。閔可夫斯基的工作，在某種程度上說，是對龐加萊的觀點和思想做了有益的擴充（elaboration），顯然沒有原創性。
圖3 1881年，龐加萊題為《論非歐幾何對二次型理論的應用》的文章
狹義相對論時空的四維贗歐幾何空間，也常常被稱作3+1維空間，其中3代表空間維度，1代表時間維度。事實上，早在1881年，龐加萊便已討論過三維贗歐幾何空間，或說2+1維空間的數學結構了。如圖3所示，他在這篇名叫“論非歐幾何對二次型理論的應用”的純數學文章中，求解了二次型
，在什麼樣的實數線性變換（2）下，能保持形式不變，即
，換句話說，也就是要確定（2）式中的所有係數
α
，
β
，
γ
，……，最後結果由（2‘）給出。
或許有點意想不到，如果將上述變換與狹義相對論的洛倫茲變換相聯絡，那麼，這實際上就是2+1維空間的洛倫茲變換了。如果進一步假定這裡的
η
=0，即考慮二次型
，也就是二維贗歐幾何空間，或說1+1維空間，那麼（2’）就只剩下與
α
，
γ
，
α
‘’，
γ
‘’ 相關的三個式子了。這不是別的，正是沿
x
方向運動的特殊洛倫茲變換！估計正是在與洛倫茲通訊的1905年5月的某一天，龐加萊大概突然意識到，這兩個時間相差24年的線性變換竟然是同一件事情。吾等凡人只能想象，而完全無法感受龐加萊此刻的心情。或許，閔可夫斯基上面所說的那段話放在這裡是最恰當不過了：“很顯然，數學家純粹是在他們的想象中開闢了一片廣闊的領域，然而這些理想的夥伴從來沒有這樣的意圖，最完美的真實存在（the most perfect real existence）有一天將會真的走上他們的路”。
圖4 非歐幾何名人堂
作為公認的非歐幾何大師（圖4），龐加萊意識到，這裡的非歐幾何（我們今天稱作贗歐幾何）與歐幾里得、羅巴切夫斯基和黎曼的幾何都不一樣，因此在他的1902年名著《科學與假設》的第三章“非歐幾何”（該章原文發表於1891年）中，他稱之為第四種幾何學：
“在這些隱含的公理中，有一條值得注意，因為拋棄它將使我們能夠建立與歐幾里得、羅巴切夫斯基和黎曼的幾何學一樣融貫的第四種幾何學。為了證明在點
A
總可以向直線
AB
引一條垂線，考慮繞點A轉動的直線
AC
，它起初與固定直線
AB
重合。讓
AC
繞點
A
轉動，直到它位於
AB
的延長線上。
因此，我們假設了兩個命題：首先，這種轉動是可能的，其次，轉動可以繼續下去，直到兩條直線互為延長線。如果接受第一點而拒絕第二點，我們就可以得到一系列定理，這些定理甚至比羅巴切夫斯基和黎曼的定理更為奇特，但同樣沒有矛盾。
我只引用其中一個定理，它並不是其中最奇特的：一條實際的直線可以垂直於它自身。”
如劃線部分所示，遠在閔可夫斯基1908年給出他的時空圖（圖5）之前十七年，龐加萊就已經令人驚歎地將光錐線（即（
x
，i
t
）的對角線）上的奇異幾何特性說明白了。
圖5 閔可夫斯基的時空圖
現在，如果我們回過頭來再看龐加萊的《七月文章》，一切都變得透明瞭，特別是，由他首先發現洛倫茲群、四維時空、四維時空不變數、以及四維時空的贗歐幾何結構這一系列狹義相對論最本質的內容，難道不是再自然不過的事嗎？
6 閔可夫斯基的6向量和電磁張量
上一節的內容雖長，總結起來實際上也就是一句話：四維時空及其贗歐幾何結構是龐加萊對物理學最偉大的學術貢獻，它不應該被稱作閔可夫斯基空間。但我們完全無意否認閔可夫斯基在前者的基礎上（畢竟兩人的工作在時間上差了兩年半），由四維時空的贗歐幾何結構出發重構狹義相對論的歷史重要性，它不僅對狹義相對論的傳播起了相當大的作用，而且直接影響了愛因斯坦在廣義相對論上的發展，更不必說歸功於他的電動力學張量表述形式，以及宏觀運動介質的電動力學，特別是任意慣性系中的本構關係了［8］。
正如1922年索末菲對閔可夫斯基的“空間與時間”論文所做註釋中講的那樣：
“用了一個‘第二類向量’（或者，我建議稱它為‘6向量’，這似乎已被接受）的電磁場的不變性表達（invariant representation），是閔可夫斯基的電動力學觀點中特別重要的一個部分。儘管閔可夫斯基的‘第一類向量’，或4向量，龐加萊已經在一定程度上有了，但6向量的引入是新的。”
那這個6向量究竟是個什麼東西呢？對於當年和今天的物理學家，可以說，這幾乎是個從未聽說過的古怪名稱；但對於當年的數學家，這並不是什麼新東西，它事實上就是J。 Plücker和A。 Cayley在十九世紀七十年代，在射影幾何中引入的三維射影空間（非零的空間“點座標”是4向量）的“線座標”（6向量）。為了便於讀者更好地理解閔可夫斯基的6向量和電磁張量，我們簡單介紹如下［10］：
由三維射影幾何可知，如果（
x
0，
x
1，
x
2，
x
3）和（
y
0，
y
1，
y
2，
y
3）是一條直線
p
上的兩點，則線座標是這樣定義的：
因此下面這六個量
就是這條直線
p
的線座標。假定我們對（
x
0，
x
1，
x
2，
x
3）和（
y
0，
y
1，
y
2，
y
3）都作洛倫茲變換（這裡只給出前者）：
則容易驗證：
事實上，這組變換式與《文二》介紹的電磁場（
E
，
H
）的變換式，在形式上完全一樣，只要假定：
值得指出的是，這個結論不僅對於特殊洛倫茲變換，而且對於最一般的洛倫茲變換也是成立的。因此，當對四維空間座標進行洛倫茲變換時，如果一組六個量的集合是按照直線的線座標變換的話，那麼這六個量就構成了一個所謂的6向量，它正好對應了今天的四維二階反對稱張量中的6個獨立元素，如今天教科書上的閔可夫斯基電磁張量所示。它的物理意義在於，
E
和
H
不是相互獨立的兩件事，它們本質上是一件事。
有趣的是，雖然龐加萊在公開發表的文章中，除了在1905年的《七月文章》第一節中證明了這個（
E
，
H
）變換之外，並未在其他地方談論過這組（
E
，
H
）6向量的特殊變換；但難以想象，這麼明顯的事實怎麼可能逃脫龐加萊的法眼呢？如圖6所示，事實上，比閔可夫斯基大約早了一年，他在1906—1907學期的課程中，確實談及了這組（
E
，
H
）6向量的特殊變換，只是說法與閔可夫斯基稍有不同。在給出了四維時空不變數所導致的洛倫茲變換式（4），並在定義了
E
=（
f
，
g
，
h
），
H
=（
α
，
β
，
γ
）之後，他接著就指出（
E
，
H
）的變換式（5）“這組變換在保持了
g
2-
γ
2和
h
2-
β
2不變的條件下構成了一個群”。這裡，
g
2-
γ
2不變的變換，實際上就對應了上述（14）式中的第2、6兩式；而
h
2-
β
2不變的變換，實際上就對應了（14）式中的第3、5兩式。用今天的張量形式表達，這就是由兩個洛倫茲變換所導致的電磁張量變換：
。
圖6 龐加萊1906年的講義
既然龐加萊完全明白四維時空的非歐幾何結構，那他為什麼不採用閔可夫斯基那樣的方式來表達狹義相對論呢？很顯然，他不是不能，而是不願。在他完成1905年《七月文章》之後，比閔可夫斯基的第一項工作（1907年11月）早了一年多，他留下了這樣的文字（見參考文獻［2］第427頁）：
“事實上，看來可以做到將我們的物理翻譯成四維的幾何語言；試圖進行這樣的翻譯，實在是弊遠大於利，我這裡僅限於舉出赫茲的力學作為類比。然而，似乎這樣的翻譯總是不如原文那麼簡單，總帶著翻譯的味道，三維的語言似乎更合適描寫我們的世界，雖然這種描繪可以嚴格地用另外的語言來進行。”
很顯然，龐加萊不那麼做，完全是因為他有自己對世界的哲學認識。客觀地說，如果僅限於當時的狹義相對論這一件事來看，閔可夫斯基所做的狹義相對論工作，除了表達形式不同，並沒有導致比龐加萊的《七月文章》更多的重要結果。但是，從後來愛因斯坦發展廣義相對論的視角看，不得不說，龐加萊的上述觀點並不正確，而且顯然是太保守了。這或許真的驗證了那句老話，智者千慮必有一失！
