“拓撲”跟“群”一樣也是一種對結構的描述，但是它不再專注於結構的外觀、尺度，而只關心結構的性質，即不再進行定量研究轉而進行定性研究，這是數學發展史上又一次偉大的突破。
比如我們可以把一個癟了的球、一個正方體、一個十二面體都認為具有同樣的拓撲，因為這些結構在三維空間中都是封閉的，它們都可以透過連續變換變成一個球。你可以想象這些物體都是橡皮做的，只要充滿氣，就能把它們漲成完美的球形，在拓撲學中我們說這些結構與球是同胚的。具有同胚拓撲結構的空間幾何體在遵循“不撕裂不扯破”的原則下能夠任意相互變換。所謂“不撕裂不扯破”就是不破壞構成結構體的各點之間的關係，比如A點和B點是相鄰的，在變換之後A點與B點仍然是相鄰的。有一種結構，無論你用同樣的方式怎麼努力，也不能變成球形，那就是輪胎。這是因為輪胎與球具有不同的拓撲結構，球是單聯通的，而輪胎是雙聯通的。
尤拉是最早研究拓撲問題的數學家之一，他最早解決了
哥尼斯堡七橋問題
（下圖）。
哥尼斯堡七橋問題
十八世紀在普萊格爾河上建有七座橋，將河中間的兩個島和河岸聯結起來，人們經常在橋上散步，有人就提出，能不能每座橋都只走一遍，最後又回到原來的位置，很多人嘗試了各種走法，藉以打發無聊的時光，但是始終沒有人能夠做到。最後尤拉創造性地將兩座小島和河的兩岸分別看作四個點，而把七座橋看作這四個點之間的連線。那麼這個問題就簡化成：能不能用一筆就把這個圖形畫出來。最後得出的結論是不可能每座橋都走一遍，最後回到原來的位置，並且尤拉給出了所有能夠一筆畫出來的圖形所應具有的條件，這就是拓撲學的起源。
在數學歷史上有很多公式都是尤拉發現的，它們都叫做尤拉公式，分散在各個數學分支之中。在幾何學和代數拓撲學方面，尤拉公式的形式為：對於一個擁有F個面、V個頂角和E條稜（邊）的單聯通多面體，必存在 F+V-E=2，這個發現真正揭開了拓撲學研究的序幕。但是尤拉最初發現這個公式的時候，並不知道這是一種拓撲性質，等式右邊的數值2實際上是拓撲不變數，就是不管這個單聯通多面體如何進行拓撲變換，右邊的數字一定是2，這個數值規定了單聯通多面體的拓撲性質，後來被稱為
尤拉示性數
。尤拉公式更一般的形式為V+F-E=X（P），V是多面體P的頂點個數，F是多面體P的面數，E是多面體P的稜的條數，X（P）是多面體P的尤拉示性數。如果多面體P是同胚於一個球面的，那麼X（P）=2，如果P同胚於一個接有h個環柄的球面（下圖），那麼X（P）=2-2h。
根據多面體的尤拉定理，可以證明出這樣一個有趣的事實：
只存在五種正多面體
（下圖）。它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。
正多面體
這五種正多面體由古希臘哲學家柏拉圖發現並寫入自己的名著《蒂邁歐篇》中，柏拉圖認為：“宇宙間各種元素均以正多面體為代表，火的熱令人感到尖銳和刺痛，好像小小的正四面體；空氣是用正八面體代表的，可以粗略感受到，它極細小的結合體十分順滑；當水放到人的手上，它會自然流出，水的自然形態接近球形，好像正二十面體；一個正方體表示地球（天圓地方），代表土。因此正四、六、八、二十面體分別代表火、土、氣、水四種基本元素”。剩下一個正十二面體，柏拉圖以不太清晰的語調寫到：“神使用正十二面體以整理整個天堂的星座”。他認為，正十二面體的各面是正五邊形，這包含著黃金分割，展現著宇宙之美，代表了和諧的宇宙整體。雖然柏拉圖關於正多面體的理解具有他的時代侷限性，但是他能夠對自然界中這些完美的存在做出富有詩意的猜想卻是難能可貴的，誰又能說我們現在對於宇宙的理解在未來人類的眼中不是浪漫的想象呢？
尤拉公式揭示了拓撲性質與對稱性之間的聯絡，在單聯通多面體結構，只能產生5種完美對稱，我們真實的宇宙一樣具有某些拓撲性質，這些拓撲性質也同樣對對稱性有約束，因此才形成了我們所見的宇宙。
拓撲學上著名的發現還有莫比烏斯帶與克萊因瓶。
莫比烏斯帶
（下圖）是由德國數學家莫比烏斯和約翰·李斯丁在1858年獨立發現的。這個結構可以用一個紙帶旋轉半圈再把兩端粘上之後輕而易舉地製作出來，它只有一個面，和一個邊界。
莫比烏斯帶
有兩種不同的莫比烏斯帶映象，他們相互對稱。如果把紙帶順時針旋轉再貼上，就會形成一個右手性的莫比烏斯帶，反之亦類似。在莫比烏斯帶的世界中平面的正反兩個面被聯通成一個面，我們想象一種二維人類生活在莫比烏斯帶的世界中，他只要圍繞世界走上一圈，左手就自動變動了右手，而在普通的平面中無論他如何努力這都是無法做到的，莫比烏斯帶實際上是二維平面在三維空間中的扭曲形成的，如果不跨越到三維空間，就無法實現這種扭曲，平面的正反兩面也就不可能連線到一起。
莫比烏斯帶具有很多奇妙的性質。如果從中間剪開一個莫比烏斯帶，不會得到兩個窄的帶子，而是會形成一個把紙帶的端頭扭轉了兩次再結合的環，再把這個環從中間剪開，則變成兩個環。如果你把帶子的寬度分為三分，並沿著分割線剪開，就會得到兩個環，一個是窄一些的莫比烏斯帶，另一個是一個旋轉了兩次再結合的環。另外一個有趣的特性是將紙帶旋轉多次再貼上末端而產生的，比如把旋轉三個半圈的帶子再剪開後會形成一個三葉結（trefoil knot）（下圖）。
三葉結
克萊因瓶
（下圖）是由
德國數學家菲利克斯·克萊因
發現的。它的結構也非常簡單，想象一個瓶子底部有一個洞，延長瓶子的頸部，並且扭曲地進入瓶子內部，然後和底部的洞相連線。這個新的瓶子沒有“邊”，它只有一個表面，且沒有內部、外部之分，一隻蒼蠅可以從瓶子的內部直接飛到外部而不用穿過表面。
克萊因瓶
它和莫比烏斯帶非常相像，實際上是莫比烏斯帶的三維擴充套件，但是與之不同的是，克萊因瓶是一個閉合的曲面，也就是說它沒有邊界。我們可以想象將兩個相反的莫比烏斯帶的邊縫合在一起，就構成了一個克萊因瓶。莫比烏斯帶必須跨越到3維或更高維的空間才得以形成，克萊因瓶則跨越到於四維或更高維空間中才能製造出來，它在我們的三維空間中是不可能存在的，它實際上是在四維空間中將三維空間的正反兩面扭曲連線到一起。
拓撲學上最傳奇的故事莫過於
龐加萊猜想
了。1904年，龐加萊在一篇論文中提出了一個看似很簡單的拓撲學的猜想：在一個三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮到一點，那麼這個空間一定是一個三維的圓球，即任何單聯通的三維封閉流形都同胚於三維球面。後來這個猜想被推廣至三維以上空間，被稱為“高維龐加萊猜想”，即“任何與n維球面同倫的n維封閉流形必定同胚於n維球面”。前面我們已經講過同胚是指透過不撕裂不扯破的連續變換可以變為同樣形狀的性質，同倫則是比同胚更寬鬆的變換，比如我們可以把一個三維的球壓扁在一張紙上變成一個二維的圓盤，然後在二維的圓盤上長出幾根刺，這個圖形與原來三維的球都是同倫的。龐加萊猜想其實意味著在我們的三維空間中的任何封閉物體，不管是一塊磚頭，一個人，還是一臺拖拉機，只要它是封閉的，在四維空間中它就必然能連續變換成四維空間中的三維球面。換句話說，正如三維球體的邊界是一個二維封閉球面一樣，四維球體的邊界其實就是三維的封閉球面，這個球面去掉一個點展開來就是整個三維空間，任何在這個三維空間中封閉的物體都可以透過拉伸、彎曲、延展變成一個三維的封閉球面。類似三葉結這樣的結構在三維空間中當然不能變成一個球，但是在四維空間中，這樣的變換就變得輕而易舉。
一個多世紀以來，無數的科學家為了證明“龐加萊猜想”傾盡了畢生的心血也沒有能夠完成。希臘著名的拓撲學家
帕帕
在臨終前，把一疊厚厚的證明手稿託付給一位數學家朋友，然而那位數學家發現了其中的錯誤，他為了讓帕帕不留遺憾地離去，最後選擇了沉默，這只是龐加萊猜想證明史上無數悲歌中一首。2000年5月24日，美國克雷數學研究所的科學顧問委員會把龐加萊猜想列為七個“千禧年大獎難題”之一。這七道問題被研究所認為是對人類科學發展最為重要的定理，克雷數學研究所的董事會決定建立七百萬美元的大獎基金，每個問題的解決都可獲得百萬美元的獎勵，因為任何一個問題的解決，都將人類對於宇宙的認識提升到新的層次，而龐加萊猜想被公認為七個難題中最不可能被證明的一個。儘管舉步維艱，但前方似乎總在閃動著曙光，一群拓撲學的先驅前仆後繼，鋪就一條通往遙遠彼岸的浮橋，
斯梅爾
完成了對龐加萊猜想的五維空間和五維以上的證明；
福裡德曼
給出了四維空間的證明；
瑟斯頓
引入了幾何結構的方法對三維流形進行切割；
丘成桐
和
李偉光
發展出了一套用非線性微分方程的方法研究幾何結構的理論；
漢密爾頓
給出了裡奇流奇點的理解；而默默無聞的俄羅斯猶太裔數學家
格里戈裡·佩雷爾曼
則完成了最後的證明。令人意外的是，儘管佩雷爾曼收入微薄卻拒絕領取屬於他的百萬美金。2003年，在他公佈研究成果後，就銷聲匿跡了，據說至今仍保持單身的他，正與母親隱居在聖彼得堡家中，享受悠悠歲月。與此形成鮮明對比的是，中國中山大學的朱熹平和曹懷東卻掀起了一場搶功鬧劇，這場鬧劇最終以自嘲收場。在這次事件中，美籍華裔科學家丘成桐也懷有私心，人性的自私在巨大的榮譽面前被暴露無疑，而面對名利的兩種截然不同的態度顯示了科學聖殿的精英在道德修養上的差異，我們不能說誰好誰壞，但有一點可以確認，自然界的真理永遠只能由最純真的心靈觸及。
龐加萊猜想跟圓結構密不可分。我們知道，自然界中普遍存在著圓、球及跟圓密切相關的螺旋，圓是相當神奇的拓撲結構，它有一些看似普通但卻深刻的性質。在幾何學中，圓是在N維空間中距離一點距離相同的所有點的集合，在二維平面上圓方程為x^2+y^2=r^2，即平面中與同一點距離相同的點組成的環，是平面封閉流形的一種特殊形式。圓的性質之一是封閉性，它將維度空間隔離為截然不同的兩部分，一部分為內部空間，一部分為外部空間。圓內空間為有限，圓外空間為無限，圓內邊緣與圓外邊緣具有截然相反的性質，內圈為負曲率，外圈為正曲率。圓的性質之二是連續性，用數學術語來說是可積可導的，它連續彎曲變化，沒有摺疊、沒有斷裂，最終首尾精巧相連，一切都圓融自然。圓的性質之三是它可以收縮為點，圓收縮為點的性質其實對應圓所包圍的面，在這個面中所有的點都可透過連續變換收縮於其中的一點，收縮過程可以是透過不斷縮小半徑變換為更小半徑的圓面，原有圓面中的每個點都對應著新圓面中的點，且點與點之間保持原有的相鄰關係，不折斷也不破裂。圓拓撲的性質之四是有限無界性，我們的地球就是這樣一種結構，有限的體積，但表面沒有界限，這體現了宇宙的絕妙創意，它讓宇宙本身首尾相連、迴圈相依、渾然天成、自成一體。這樣的結構既能使宇宙整體展現完整與自恰，也能讓其內部的生命體感到無限開放、無拘無束。我們知道，作為自然界大統一理論備選方案的M理論是由不同種類的弦論組成的，而弦論又都是建立在開弦、閉弦及膜的基礎之上的。可以說，在M理論中，開弦、閉弦及膜的拓撲變換及維度擴充套件最終演化形成了整個宇宙的複雜結構。而線對應“開弦”，圓環對應“閉弦”，圓面對應“膜”，它們都是宇宙中的最基本的結構，不同之處在於開弦有兩個自由的端點，閉弦沒有自由的端點，而膜則可以變換成開弦與閉弦。從某種意義上來說，圓面是比圓環、線段更為基本的東西，因為所有維度的空間在高於它的維度空間看，都只是一層扁平的薄膜，比如從四維空間中來看，地球實際上是一張三維膜，而黑洞的奇點正是三維膜收縮而成的點。借用一位中國學者的觀點：“藉助龐加萊猜想熵流，用空心圓球不撕破和不跳躍貼上，能把內表面翻轉成外表面，可證時間之箭的起源，還能把熱力學與量子論、相對論、超弦論和圈量子引力論等相聯絡”，這讓我們似乎看到了揭開時間之謎的一把拓撲學之鑰，如果時間的本質是“機率的不可逆”，那麼這種機率的不可逆就可能對應於“把空心圓球不撕破和不跳躍貼上，能把內表面翻轉成外表面”的拓撲變換性質，宇宙的爆發以及膨脹也許正是在執行這種變換。
龐加萊猜想帶給我們新的宇宙觀：每個N維球面都包裹著N+1維的一塊世界，也可以說每個N維的世界，都是由N+1維的世界支撐著。跟我們通常認為的相反，低維世界恰恰是依附於高維世界而存在的，因為低維世界只是高維世界中物體的分界。正如人類是以地球的二維球面為支撐，生長在宇宙的三維球面上。當然不排除還有其他的生命形式以宇宙的三維空間為支撐，生長在更廣闊的四維球面上（下圖為四維球在三維空間中投影結構）。
以此類推，理論上來說具有無限的維度，但實際上不可能，由於“機率的不可逆“性，宇宙能得以存在，必須在維度上也是高度自律的，這在數學上得到證明。按照弦論，宇宙由一根根細小的弦組成，它們的共振模式就是粒子質量與電荷的微觀起源，弦的共振模式在我們看來就是基本粒子的質量和電荷。弦物理學家在研究弦振動的規律時，發現那些令人困惑的計算結果強烈依賴於弦的獨立振動方向的數目。一旦超越某個維度，就會產生負機率，負機率的產生原因是理論需要的振動方向與實際表現的方向的不相稱。計算表明，如果弦能在9個獨立空間方向上振動，那麼所有的負機率都將消失。這正符合我們在《數的簡史-從0到上帝公式》提到的“更高的自由度也正損耗著運算賴以存在的基礎，自由度似乎應該具有某種極限”，而9維就是這個極限，再加上弦振動賴以持續存在的時間維，總共就有了10個維度。
物理學家曾經一度認為我們的世界是10維的，但是隨之而來的五種各不相同的弦論讓物理界為之困惑，這5種不同的弦論給出了5種截然不同的宇宙，是否可能這5種不同的理論能在更高的維度上實現大統一，即是否存在第11個維度，於是科學界在宇宙到底是10維還是11維的問題上爆發了激烈的爭論。直到第二次超弦革命，才最終驚訝的發現5種不同的弦論是等價的，它們都可以從11維的M理論中匯出。M理論也因此登上了歷史的舞臺。
數學的11維空間是非常抽象的，弦物理學家認為，除了我們生活的4維空間外，其他7維可能正以很小的尺度蜷縮著，這些維度已上升至資訊層面，涉及微觀粒子的基本屬性。時間作為第4個維度的意義已經由愛因斯坦的相對論描述，另外7個維度分別代表的意義遲早也將被揭開。但這些也僅僅是目前我們的理解，我們的理解跟我們感知事物的方式有很大關係。我們透過感知光子形成影像，透過感知震動形成聽覺，透過感知化學反應形成味覺，透過感知壓迫、觸控形成觸覺。其中最主要的是視覺，人腦根據光線進入視網膜的入射角度，透過計算建立起不同光線的匯聚點，從而形成影像，再透過對兩隻眼睛成像的對比來分辨距離的遠近，最終一點點構築起三維世界的景象。我們的大腦已經形成了相當頑固的思維模式，我們的感知太依賴於我們對物質世界的固有了解，這使我們喪失了對更高維度世界的正確理解。生命能感知的層次是相當豐富的，我們是被這個物質世界的表象深深的束縛了，可以說我們所見之處就是牢籠的邊界。
但我們對此“幽閉”一點也不用擔心，維度的限制並不妨礙我們感知尺度的無限，儘管我們生活在如塵埃般大小的地球微粒的表面上，也並不妨礙我們感受空間的遼闊。我們通常意義上的大小、內外、有限、無限的概念是不能用來解釋宇宙的，也許著名的
卡拉比-丘流形
能幫助你理解到這一點，弦論認為我們所在的10維世界中其他6維蜷縮在這樣的複雜結構中（下圖僅為其在三維空間的投影）。
卡拉比-丘流形
