記得看了篇童話，講一個男孩子後腦勺有扇小門，每到測驗前開啟小門把資料往腦袋裡一扔，就能輕鬆背出所有內容。。。如此幾年後，他變得無法和正常人交流，張口閉口只能說出書本里的話，成了一個傻子。
這篇童話給我們啟示是：有時候滿腦子各種死板教條的人比無知的人更可惡，無知小白尚且能教明白，可前者思維已經根深蒂固了，就像一顆滑絲的螺絲釘，不為它費神的最好辦法就是換掉。
無獨有偶，在《伊索寓言》中可以看到如下故事：
可憐的騾子揹著幾袋沉甸甸的鹽行走，累得氣喘吁吁，可又不得違抗主人的命令，只能邁著艱難的步伐前進。
就在這時，騾子的眼前出現了一條小河，一不小心跌倒在河裡，幸好河水不深，它趕緊站起來。
說來也奇怪，騾子頓時覺得身上輕巧了不少，走起路來不再那麼吃力了。它高興極了，心想這一定是一條神奇的河流，才會讓我背上的重量減輕這麼多。
過了些日子，騾子馱著棉花趕路，雖然裝棉花的口袋大大的，可是棉花的重量並不大，所以騾子走起路來也並不吃力，反而很輕鬆。走著走著，它又走到了上次那條河流，想到上次河水讓自己背上的重量減輕了不少，不禁心生邪念。
雖然現在的棉花並不重，但是如果還是能更輕一點豈不是更好？於是，騾子走到河水中間位置的時候，故意摔了一下，然後再站起來。這一次，騾子頓時覺得背上的重量好沉啊，比那可怕的鹽還要沉好幾倍。
騾子好不容易走上了岸，卻不明白為什麼河水能讓重的東西變輕巧，也能讓輕巧的東西變重。
所以，和一個正常溝通，不怕沒有思想的小白，就怕他滿腦子的標準答案或套路。
叔本華說，要想讓一個人變傻，最好的辦法就是叫他不停地讀書。
因為讀書只是在複製別人的觀點，是一種思維的偷懶和搬運。人應該獨立思考，不依賴別人的觀點，哪怕思考的內容再淺顯，那也是自己的思考的成果。
經驗並不能解決所有的問題，因為我們面對的問題並不總是一樣的。這則故事告訴我們沒有一成不變的事物，也沒有放之四海而皆準的真理，必須辯證地去看待事物，抱著舊觀念、舊框框去處理新情況、新問題是行不通的。
做事情不要投機取巧，一定要踏踏實實。在解題中，適當的新增輔助線，可以化繁為簡，化難為易。圓中有關切線問題的新增輔助線有一定的規律可循，應注意靈活應用。要把握問題的規律，根據情況辦事，不能一味生搬硬套。否則便會得到驢子那樣的下場。
知識要點
1。切線的性質定理：
圓的切線垂直於經過切點的半徑。
2。切線的主要性質：
①與圓只有一個公共點
②圓心到切線的距離等於半徑
③垂直於過切點的半徑
④過圓心垂直於切線的直線過切點
⑤過切點垂直於切線的直線過圓心
切線的性質定理的推論：
推論1：經過圓心且垂直於切線的直線必經過切點；
推論2：經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心。
用切線性質時，連結圓心和切點與切線有關的計算：
連切點，用垂直。這是在題目中有切線時，一般會連線圓心和切點，構造直角，再利用直角三角形的相關性質解決問題。
通常與勾股定理、垂徑定理、三角形相似等知識相結合，分析時要重點注意觀察已知線段間的關係，選擇定理進行線段或角度的轉化，藉助圓的相關定理進行弧、弦、角之間的相互轉化；探究解題思路時，不僅要從複雜圖形中提煉出基本圖形，還要注意數學思想方法的運用。
3。切線長定理
切線長的定義：把圓的切線上某一點與切點之間的線段長叫做這個點到圓的切線長。
切線長的定理：過圓外一點所畫的圓的兩條切線，它們的切線長相等，這個點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角。
4。切線的判定
經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線。
與切線有關的常見輔助線方法：
圓的切線的判定和應用一類的題目幾乎是每年中考中必考題型之一，那麼掌握這裡的四到六三種輔助線的作法，對提高同學應對此類題目有很大的幫助。
有切點，證切線（若切點明確，則“連半徑，證垂直”）
當確定點在圓周上時，連線圓心與圓周上的點，證明垂直就可以證得切線。
直線AB與圓O有公共點B，求證：AB為圓O的切線。
連線OB，證∠OBA=90°，則當∠OBA=90°時，AB為圓O的切線。
作垂直，證半徑（若切點不明確，則“作垂直，證半徑”）
當不確定點是否在圓周上時，先從圓心做直線的垂線，再證明垂線段的長度和半徑相等即可證得切線。
證明某條直線是圓的切線時，如果未明確指出直線與圓是否有公共點，通常過圓心作出該直線的垂線段，證明該垂線段的長等於半徑，基本思路為“作垂直，證半徑”。
典型問題
例1．（2022石獅市模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的切線交BA的延長線於點D，連線BC．若∠B＝α，則∠D的大小為（）
【分析】
連線OC，如圖，先根據切線的性質得到∠OCD＝90°，再根據圓周角定理得到∠COD＝2α，然後利用互餘關係用α表示∠D．
【解答】
：連線OC，如圖，
∵CD為切線，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，
∵∠COD＝2∠B＝2α，
∴∠D＝90°﹣∠COD＝90°﹣2α．故選：B．
變式1．（2022膠州市二模）如圖，點B，D，E為⊙O上的三個點，OC⊥OB，過點D作⊙O的切線，交OE的延長線於點C，連線BE，DE．若∠OCD＝30°，則∠BED的度數為（）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】
連線OD，利用切線的性質可得∠ODC＝90°，從而可求出∠DOC＝60°，根據垂直定義可得∠BOC＝90°，從而求出∠BOD＝30°，然後利用圓周角定理進行計算即可解答．故選：B．
變式2．（2022城關區二模）如圖，在平面直角座標系中，矩形OABC與⊙E相交於點F，⊙E與y軸相切於點D，點B的座標為（4，6），點D的座標為（0，4），則⊙E的半徑為（）
A．2 B．2。5
C．4 D．4。5
【分析】
連線DE、BE，過E點作EF⊥BC於F，如圖，設⊙E的半徑為r，根據切線的性質得到DE＝r，再利用B（4，6），D（0，4）得到EF＝2，BF＝4﹣r，
變式3．（2022尤溪縣模擬）如圖，在平面直角座標系中，以M（3，5）為圓心，AB為直徑的圓與x軸相切，與y軸交於A，C兩點，則tan∠ACM的值是（）
變式4．（2022蘇州模擬）如圖，點A，C，N的座標分別為（﹣2，0），（2，0），（4，3），以點C為圓心、2為半徑畫⊙C，點P在⊙C上運動，連線AP，交⊙C於點Q，點M為線段QP的中點，連線MN，則線段MN的最小值為（）
例2（2021奉化區校級模擬）如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓上（不與A，B重合），DE⊥AB於點D，交BC於點F，下列條件中能判別CE是切線的是（）
A．∠E＝∠CFE B．∠E＝∠ECF C．∠ECF＝∠EFC D．∠ECF＝60°
【分析】連線OC，根據等腰三角形的性質得到∠OCB＝∠B，推出∠OCB+∠ECF＝90°，於是得到結論．
【解答】：連線OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，
∵DE⊥AB，∴∠BDF＝90°，∴∠B+∠DFB＝90°，
∵∠EFC＝∠BFD，∴∠B+∠EFC＝90°，
∵∠ECF＝∠EFC，∴∠OCB+∠ECF＝90°，
∴CE是⊙O的切線．故選：C．
變式1（2021秋金安區校級期末）如圖所示，直線y＝x﹣2與x軸、y軸分別交於M，N兩點，⊙O的半徑為1，將⊙O以每秒1個單位的速度向右作平移運動，當移動
s時，直線MN恰好與圓O相切．
【分析】
作EF平行於MN，且與⊙O切，交x軸於點E，交y軸於點F，如圖所示．
設直線EF的解析式為y＝x+b，即x﹣y+b＝0，
∵EF與⊙O相切，且⊙O的半徑為1，
變式2．（2022徐州二模）在△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝5，BC＝12，點D是線段BC上一動點，以D為圓心CD為半徑的圓與AB相切時，則CD的長為
．
【分析】
（1）證明：∵FC＝FD，∴∠FCD＝∠FDC，
∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，
∵PF⊥AB，∴∠FPB＝90°，∴∠OBC+∠PDB＝90°，
∵∠FDC＝∠PDB，∴∠FCD＝∠PDB，
∴∠OCB+∠FCD＝90°，∴∠FCO＝90°，
∵OC是⊙O的半徑，∴FC是⊙O的切線；
（2）解：連線OE，CE，
∵FC＝FD，∠F＝60°，∴△CDF是等邊三角形，
∵點E是FD的中點，∴∠DEC＝90°，∠DCE＝30°，
變式4．（2022沿河縣一模）如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA＝∠CBD．∠ADB的平分線DE交⊙O於點E，交AB於點F，連結BE．
（1）判斷直線CD與⊙O的位置關係，請說明理由；
