提要
分式方程是一元一次方程，二元一次方程等整式方程的拓展。一般的，解分式方程時應先將分式方程轉化為整式方程，然後求出轉化後整式方程的解，再經過檢驗得到分式方程的解或說明分式方程無解。解決分式方程增根的有關問題同解分式方程一樣，是將分式方程轉化為整式方程。
知識全解
一．分式方程的概念
分母中含有未知數的方程叫做分式方程。例如，3/x=-1，1/（x-2）=3/x等都叫做分式方程；而（x-1）/2=2x/3中儘管某些項含有分母，但分母中不含有未知數，因此，它們仍然是整式方程，而不是分式方程。
分母中是否含有未知數是區分整式方程和分式方程的一個顯著標志。
二．解分式方程的步驟
（1）解分式方程的基本思路是“轉化”，計把分式方程轉化為我們熟悉的整式方程，轉化的途徑是“去分母”，即方程兩邊都乘以最簡公分母。
（2）分式方程的解法一般步驟如下
①在方程的兩邊都乘以最簡公分母，化為整式方程。
②解這個整式方程。
③檢驗：解分式方程必須檢驗，檢驗的方法是將整式方程的解代入最簡公分母（或每個分母），如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解（有的地方稱其為原方程的增根）。
提示
（1）檢驗是把解得的整式方程的根代入最簡公分母，看結果是不是零，使最簡公分母為零的根是原方程的增根，必須捨去。
（2）解分式方程的基本思路是化為整式方程。通常有兩種做法：一是去分母；二是換元。
三．分式方程的增根
將分式方程變形為整式方程時，方程兩邊同乘以一個含有未知數的整式，並約去分母，有時可能產生不適合原分式方程的解（或根），這種根通常稱為增根。
提示
（1）分式方程增根產生的原因：在解一個方程時，如果出現了增根，往往是由於變形時擴大了未知數的取值範圍造成的。
①如果不遵從同解原理，即使解整式方程也可能出現增根。例如，將方程x-2=0的兩邊都乘以x，變形成x（x-2）=0，新方程就比原方程多出一個根x=0，這是因為在方程兩邊都乘了一個x，這相當於用0乘以原方程的兩邊，而這是違反同解原理的。
②解分式方程時，去分母可能會出現增根。去分母后所得整式方程的根可能使原方程公分母為0。判別增根，應把所解方程的根代入最簡公分母，看其值是否為0，如果等於0，則這個根為增根。
（2）分式方程無解包括兩種情況：一是解分式方程產生增根時無解；二是將分式方程轉化為整式方程，此整式方程無解，此時分式方程也無解。
方法點撥
型別1 解方程：x/（x-1）-2/（x+1）=1
【分析】首先要確定各分式分母的最簡公分母，在方程兩邊乘以這個公分母時不要漏乘，解完後記得驗根。
解得x=3/2
經檢驗，x=3/2是原方程的根。
【方法總結】本題在去分母時一定要注意兩點，即不能漏乘1，不能忽視“-”。
例2 解方程：
【分析】若直接乘以最簡公分母以便約去分母，則計算量較大，太麻煩，故可選擇左右兩邊分別通分後再求解，或者把左右兩邊化簡後再進一步求解，最後都要驗根。
【解答】方程兩邊分別通分，得
方程兩邊都乘以（x+1）（x+3）（x+5）（x+7），約去分母，得（x+5）（x+7）=（x+1）（x+3）
化簡，得
即8x=-32，解得x=-4
經檢驗，x=-4是為原方程的解。
【方法總結】本題若能熟練地掌握多項式地乘法，注意符合的變換，則能快速準確地求解。
型別2 分式方程的增根或無解問題
例3 若解分式方程
時產生增根，則m的值是（）
A。 -1或-2 B。-1或2 C。1或2 D。1或-2
【分析】分式方程產生的增根，是使分母為零的未知數的值。由題意得增根是x=0或x=-1，於是問題得解
【解答】去分母，得
把x=0或x=-1代入解得m=1或m=-2，故應選D
【方法總結】要注意觀察方程，找出所有出現增根的可能性，這對解決問題有一定的幫助。
例4 若關於x的方程（x+m）/（x-3）=m無解，求m的值
【分析】先直接按照去分母的方法，化分式方程為整式方程，進而利用無解的意義討論
【解答】一方面，去分母，整理，得（1-m）x=-4m ①
顯然，當1-m=0，而4m≠0時方程無解，此時m=1
另一方面，若原方程有增根，即知增根為x=3
把x=3代入方程①中，得（1-m）×3=-4m，解得m=-3
綜上所述，當m=1，或m=-3時，原分式方程無解。
【方法總結】透過本例的求解，可以發現，分式方程有增根時，原方程一定無解；若分式方程無解，既可能是因為有增根造成的，又可能是由分式方程轉化所得的整式方程ax=b中的a=0，b≠0造成的。
