什麼是費馬點
費馬問題是十七世紀法國數學家、被譽為業餘數學家之王的皮埃爾·德·費馬提出的一個著名的幾何問題。在一個三角形所在平面，找到一點，到三角形三個頂點的距離之和最小。費馬成功的找到了這樣的點，即“費馬點”。
費馬點在最新教材中已不再提及，數學老師通常在課堂上作為拓展知識來講解，但正是由於是拓展知識，很多學生不會太重視，甚至當初耳邊風。10年前的中考題裡，考察這一知識點的情況比較常見。近年來，為了給學生減負，費馬點問題不再作為考試大綱的考點。但是，有時候還是會以探索類的題型出現，就是換著花樣來考。因此，為了在殘酷的競爭中取得優勢，我們仍然要把它作為一個重要的知識點加以掌握。
費馬點的兩種情況
1、 如果三角形的三個內角均小於120度，費馬點是對各邊的張角都是120度的點。
費馬點
可以看出，
費馬點
P
就是以三角形三邊為邊長向外做的
3
個等邊三角形的外頂點和
ABC
三點連線的交點
。
2、如果有一個角大於或等於120度的三角形，費馬點就是這個鈍角的頂點。
費馬點的證明
1、三個內角均小於120°的情形
費馬點模型一證明
2、有一個內角均大於或等於120°的情形
費馬點模型二證明
可以看出兩種情況下的費馬點證明都是依據旋轉思想，構造三角形全等，然後將三條線段之和轉化到是否在一條直線上來決定最小值。這個思路一定要掌握，因為它會應用在實際的考試題目中。
中考真題
（2016年株洲中考）已知點P是ABC內一點，且它到三角形的三個定點距離之和最小，則P點叫ABC的費馬點（Fermat point）。已經證明：在三角內角均小於120 的ABC中，當∠APB=∠APC=∠BPC=120 時，P就是ABC的費馬點。若點P是腰長為 根號2的等腰直角DEF的費馬點，則PD+PE+PF=_______________。
此題沒有給出圖形，而且對費馬點原理做出了提示，所以題目貌似並不超出考試大綱的要求。但是，如果考生平時對費馬點知識掌握不牢固，要想快速解出該題答案也是有難度的。實際上該題只要能把圖做出來，找到費馬點在哪裡，基本上就離答案不遠了。
2016年株洲中考費馬點題目
可以看出，只要知道費馬點的位置，問題就轉換成勾股定理的相關計算。此題對費馬點原理的提示算是比較清晰，有些考題可能就不這樣，它更多的以探究題的形式出現，難度就會增加很多，比如下面的武漢2019年中考題的一道選擇壓軸題。
（2019年武漢中考填空壓軸題）問題背景：如圖1，將ABC繞點A逆時針旋轉60 得到ADE，DE與BC交於P，可推出結論：PA+PC=PE。
問題解決：如圖2，在MNG中，MN=6，∠M=75 ，MG=4倍根號2。點O是MNG內一點，則點O到MNG三個頂點的距離和的最小值是________________。
2019年武漢中考費馬點題
此題沒有提到費馬點，但它的確是一道費馬點知識的問題。如果你平時不熟悉費馬點，可能都意識不到問題背景給你的提示有什麼用。而且，此題的問題背景，P點並不在三角形內部，和費馬點的輔助線思路還是有一些區別，儘管他們都是旋轉60度的思路。反之，如果考生知道本題求O點到三角形三個頂點的最小值，就意味著O點是費馬點，這樣，按照費馬點的位置特點，就比較容易做出該題了。
解題思路
因為∠GME=60度，而∠NMG=75度（已知），所以很自然的想到兩者加起來是135度，即∠NME=135度。這是一個非常特殊的角度，所以很容易想到∠EMF=45度。而MGE是等邊三角形，所以ME=MG，所以計算出EF=MF=4。所以NF=MN+MF=10，在NEF中，NF和FE都已經算出，由勾股定理即可算出NE等於2倍根號29。
由此題可以看出，如果知道了是費馬點問題，那麼難題就變成了容易題，否則可能無從下手直到最後放棄。
總結
中考是選拔性考試，總是要出一些稍微有難度的題目，把優秀的學生篩選出來，把他們送進高中的學堂。所以，現在的教材雖然剔除了一些看似比較難的知識點，但這並不代表這些知識點就不會出現在中考題中，它會以探究題、創新題等形式出現。所以這些知識點，我們仍然要引起重視，在平時的學習中加以總結，提煉，這樣才能在決定命運的考場上立於不敗之地。機會總是偏愛有準備的頭腦。
口訣：三條線段求最小，費馬思維莫相忘。
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