幾何學中最古老、最簡單的問題之一讓數學家們措手不及，而且這已經不是第一次了。
自古以來，藝術家和幾何學家就一直想知道幾何圖形如何在整個平面上平鋪而不產生縫隙或重疊。
最明顯的瓷磚（貼磚）平鋪：用正方形、三角形或六邊形的複製品鋪在地板上很容易。在20世紀60年代，數學家們發現了一組奇怪的瓷磚，它們可以完全覆蓋平面，但只能以永不重複的方式覆蓋。事實證明，這相當瘋狂。
第一個不重複（非週期性）的模式依賴於一組20426個不同的瓷磚。數學家們想知道他們是否能把這個數字縮小。到20世紀70年代中期，羅傑·彭羅斯證明了一組簡單的“
瘦菱形
”和“
胖菱形
”就足夠了。
想出不重複的模式並不難。許多重複的（週期性）的平鋪可以被調整成非重複的平鋪。關鍵是找到像彭羅斯那樣可以覆蓋整個平面的瓷磚，但
只
能以非週期性的方式。彭羅斯的兩種瓷磚提出了一個問題：是否能找到（只有）
一種
形狀的瓷磚可以非週期性地平鋪？
令人驚訝的是，答案是肯定的（如果允許平移、旋轉和反射瓷磚）。但如果不允許旋轉，就不可能在不留下縫隙的情況下平鋪平面。
幾年前，數學家證明了，無論你想出的瓷磚多麼複雜或巧妙，如果只能對單個瓷磚使用平移，那麼就不可能設計出一個可以非週期性地覆蓋整個平面的瓷磚。數學家們推測，這樣結果也適用於高維空間。
這個假設被稱為週期性平鋪猜想。
在上個月釋出的一份預印本中，格林菲爾德和加州大學洛杉磯分校的陶哲軒最終解決了這個猜想。他們構造了一個可以非週期地填充高維空間但不能週期性地填充（高維空間）的瓦片，從而推翻了猜想。
這種奇怪的瓷磚不僅因為突破了幾何上可能和不可能的界限而引人注目。它還與幾何學之外的問題密切相關，
包括關於邏輯本身極限的問題。
2019年，格林菲爾德和陶都獨立研究了另一個與平移平鋪有關的問題，他們的目標是證明週期平鋪猜想。由於這個猜想已經在一維和二維中成立，他們試圖在三維中證明它：
如果可以將一個形狀的副本平移到整個三維空間中，那麼一定有一種方法可以週期性地對空間進行平鋪。
他們取得了一些進展，用不同的技術重新證明了二維的猜想，他們希望這些技術也適用於三維的情況。但後來他們遇到了瓶頸。也許有一個原因讓我們無法在更高維度上證明這個猜想。我們應該開始尋找反例，陶說。
他們從改變“環境”開始。假設你想平鋪二維空間。與其嘗試平鋪一個連續平面，不如考慮一個二維晶格。現在你可以將一個瓷磚定義為網格上的有限點集。如果有一個合適的平鋪，那麼你可以透過複製這個有限的點集並移動它們來覆蓋晶格中的每一個點。
證明高維晶格的“離散”週期平鋪猜想與證明該猜想的連續版本略有不同，因為在晶格中可能存在平鋪，但在連續空間中則不可能。但它們是相關的。格林菲爾德和陶計劃提出一個離散的反例來反駁這個猜想，然後他們可以修改這個反例，使其也適用於連續的情況。
格林菲爾德
在2021年夏天，他們在一個非常高維的空間裡發現了
兩塊
瓷磚。瓷磚可以填充它們所在的空間，非週期性地。他們又花了一年半的時間才能找到一個真正的反例來反駁週期性平鋪猜想。
瓷磚“三明治”
他們開始創造一種新的語言，把他們的問題重寫成一種特殊的方程。這個方程中未知的“變數”代表了在高維空間中平鋪所有可能的方法。但很難用一個方程來描述事情，陶說。有時你需要多個方程來描述一個非常複雜的空間集合。
因此，格林菲爾德和陶重新定義了他們試圖解決的問題。他們意識到，可以設計一個方程組，在這個方程組中，每個方程對解都有不同的約束。這讓他們把問題分解成關於許多不同瓷磚的問題——在這種情況下，所有的瓷磚都使用相同的
平移集
覆蓋給定的空間。
例如，在二維空間中，你可以透過向上、向下、向左或向右滑動正方形來平鋪平面，每次一個單元。但其他形狀也可以使用完全相同的平移來平鋪平面。例如，一個正方形在右側邊緣新增一個凸起，並從左側邊緣移除，就像拼圖遊戲一樣。
如果你取一個方塊、一塊拼圖和其他使用相同移位集的瓦片，然後像三明治中的冷切塊一樣將它們堆疊在一起，你可以構造一個使用單一平移集來覆蓋三維空間的瓦片。他們需要在更多維度上進行研究。
數學家們試圖扭轉這種三明治構建過程，將他們的單方程高維平鋪問題重寫為一系列低維平鋪方程。這些方程稍後將決定高維瓷磚結構的樣子。
陶將他們的平鋪方程系統視為一個計算機程式：每一行程式碼或方程都是一個命令，這些命令結合起來可以生成一個實現特定目標的程式。邏輯電路是由非常基本的物件組成的，這些與門和或門等等，每一個都不是很有趣，陶說。但你可以把它們堆疊在一起，你可以製作一個可以繪製正弦波或在網際網路上通訊的電路。
所以我們開始把問題看作是一種程式設計問題，他繼續說。它們的每個命令都是最終平鋪需要滿足的不同屬性，這樣整個程式就可以保證符合所有條件的平鋪必須是非週期性的。
那麼問題就變成了他們需要什麼樣的屬性來編碼所有這些平鋪方程來實現這一點。例如，在三明治的一層中，瓦片的形狀可能只允許某些型別的運動。數學家們必須仔細地建立他們的約束列表——這樣它就不會限制到排除任何解，但會限制到排除所有周期解。
無限的數獨
格林菲爾德和陶希望用他們的平鋪方程編寫的謎題是一個具有無限行數和大量但數量有限的列的網格。數學家們試圖用特定的數字序列填充每一行和對角線，這些數字序列與他們可以用平鋪方程描述的約束型別相對應：他們將其比作一個巨大的數獨謎題。然後，他們發現了非週期序列，這意味著相關平鋪方程系統的解也是非週期的。陶說：“這個謎題基本上只有一個答案，那就是這個有趣的東西，它幾乎是週期性的，但不是完全週期性的。這花了很長時間才找到。
在這樣做的過程中，他們構造了一個高維的非週期瓷磚——首先是離散的，然後是連續的。他們的瓷磚非常複雜，充滿了曲折和洞，幾乎沒有瓷磚空間。陶說：這瓷磚真難看。他和格林菲爾德沒有計算它所處空間的維度；他們只知道它是巨大的，可能大到
我們的證明是建設性的，所以一切都是明確的和可計算的，格林菲爾德說。但因為它離最佳狀態還差得很遠，所以我們沒有進行檢查。
事實上，數學家們認為他們可以在低得多的維度中找到非週期瓷磚。格林菲爾德說，這是因為他們建造的一些更技術性的部分涉及在概念上“非常接近二維”的特殊空間中工作。她不認為他們會找到三維瓷磚，但她說4維瓷磚是可行的。
不完整性
這項工作標誌著一種構建非週期瓷磚的新方法，這種方法可以應用於反駁其他與瓷磚有關的猜想。反過來，這可能會讓數學家進一步突破複雜性可能出現的邊界。陶說：似乎有一種新興的原則，即高維幾何是令人討厭的。我們從二維和三維空間得到的直覺可能會產生誤導。
這項工作不僅涉及
人類直覺的邊界
，還涉及數學推理的邊界。在20世紀30年代，數學家哥德爾表明，任何足以發展基本算術的邏輯系統都是不完整的。在該系統中，有些語句既不能證明也不能推翻。事實證明，數學中充滿了“不可判定”的命題。
同樣，它也充滿了計算上無法確定的問題，這些問題不能用任何演算法在有限的時間內解決。數學家在20世紀60年代發現，關於平鋪的問題也可以是不可判定的。也就是說，對於一些形狀集合，你可以證明，在有限時間內它們是否平鋪給定空間是不可能的。
這是一個非常簡單的表述問題，但仍然超出了數學的範圍。這不是第一個數學理論無法確定或不完整的例子，但它確實是最實際的一個。去年，陶發現，關於高維瓷磚對的一般陳述是不可確定的，他們證明了沒有人能夠弄清楚某些瓷磚對是否可以完全覆蓋它們所在的空間（無論是週期性的還是非週期性的）。
關於單個瓷磚的陳述也可以是不可判定的嗎？自20世紀60年代以來，人們就知道，如果週期性平鋪猜想是正確的，那麼總是有可能確定任何給定的平鋪是否可以覆蓋平面。但反過來就不一定了。
這就是格林菲爾德和陶接下來想要解決的問題，他們使用了他們為最近的結果開發的一些技術。陶說，我們認為，我們創造的語言應該能夠創造一個無法確定的謎題，這是相當合理的。因此，可能有一些瓷磚，我們永遠無法證明它能平鋪空間。為了證明一個命題是不可判定的，數學家通常會證明它等價於另一個已知不可判定的問題。因此，如果這個平鋪問題也被證明是不可判定的，它可以作為在其他不可判定問題的一個工具。
