作者 | 大吳
1 柏拉圖多面體
正多面體，是指多面體的各個面都是全等的正多邊形，並且各個多面角都是全等的多面角。正多面體一共只有5個，最早由古希臘哲學家柏拉圖發現，所以也稱柏拉圖多面體。
柏拉圖認為世界由四古典元素組成，其形狀如正多面體中的其中四個。
火
的熱讓人感到尖銳和刺痛，好像小小的
正四面體
。
空氣
是用
正八面體
製成的，可以粗略感受到，它極細小的結合體十分順滑。
當
水
放到人的手上，它會自然流出，那它就應該是由很多小球所組成，好像
正二十面體
。
土
與其他的元素相異，因為它可以被堆疊，正如
正六面體（正立方體）
。
剩下沒有用的正多面體——
正十二面體
，柏拉圖以不清晰的語調寫：“神使用正十二面體以整理整個天空旳星座。”柏拉圖的學生亞里士多德添加了第五個元素——以太，並認為天空是用此組成，但他沒有將以太和正十二面體聯絡。
2 尤拉公式
我們知道，空間中的多面體由頂點、面、稜組成，將它們的數量簡記為、、，現在來研究一下三者之間的關係，列個表：
型別
頂點數
面數
稜數
計算
正四面體
6
正六面體
8
6
12
正八面體
6
8
12
正十二面體
20
12
30
正二十面體
12
20
30
我們發現，的值總是2，這是巧合嗎？還是說這是正多面體滿足的特有規律？
來看一個不規則多面體：
同樣地，我們列表：
型別
頂點數
面數
稜數
計算
不規則多面體
16
10
24
仍有，這似乎表明任意多面體的頂點數、面數、稜數都滿足這個數量關係。
事實上，數學家尤拉證明了對於任意
簡單多面體
，都有
這個恆等式成立，它被稱之為
多面體尤拉公式
。
這裡需要說明一下，所謂
簡單多面體
指的是
同胚
於球面的多面體（
同胚
是一個拓撲學概念，你可以簡單理解為如果在一個多面體內部吹氣，它能膨脹變為一個球，那麼可以認為它與球同胚）。
尤拉公式的完整形式是
這裡的稱為
尤拉示性數
，它是一個拓撲不變數，與空間體的性質有關，當為簡單多面體時，有
3 證明
現在我們來研究一下為什麼對於簡單多面體都成立。
我們以正六面體（即正方體）為例，假設在正六面體中，有
在這裡是一個未知數，我們的目標是證明是常數。
可以透過一些簡單的變換證明多面體尤拉公式，具體操作如下：
3.1 去面
我們將正六面體進行“壓縮”，使其變成上底面為小正方形的幾何體。
注意到在這個過程中，並沒有改變原來的頂點數、稜數、面數，因此仍有
這時再將其“拍扁”，使其成為一個二維圖形。
在這個由三維向二維轉化的過程中，最終的圖形相比原來的幾何體其面數是少了的（因為上下底面合併為了同一個面），記二維圖形的面數為，則有
又因為頂點數、稜數不變，因此有
3.2 加稜
在完成了“去面”的操作後，其二維圖形的俯檢視如下：
這時我們在圖形中加一條稜，圖形就變成了如下：
加了這條稜之後，可以發現最上面的區域被一分為二，因此對於整個圖形來說，其面數會加一，但又由於其稜數加一，有
因此仍有
可見，“加稜”的操作並不會使的值發生變化。
我們繼續加稜，將其變為如下圖形：
這個圖形的的值仍與原來的圖形一致。
3.3 擦邊
我們接著對這個圖形進行處理，擦除其中一條邊，會有什麼結果？
還是和剛才的分析方法相類似，在擦除一條邊之後，其面數就會減一，又由於“擦邊”使得稜數也減一，因此有
仍有
可見，“擦邊”也不會使的值發生變化。
透過一系列“擦邊”，圖形會變化成一個“飛鏢”的樣子：
3.4 去角
接下來就是最神奇的一步，擦去這個圖形中的某個角，看看會發生什麼！
擦去一個角，其面數會減一，其稜數會少二，其頂點數會少一，即
因此對於
來說，其值仍然是不發生變化的！
即有
“擦角”仍然不會使的值改變，那我們就放心大膽地擦吧！
最終，圖形會變為一條線段。
我們在初中就知道，線段是一個一維圖形，只有兩個端點一條線，因此有
所以
因此
至此，我們就證明了是一個常數，其值為，證明完畢。
4 小結
事實上，對於
任意簡單多面體
，我們都可以透過上述
去面、加稜、擦邊、去角
等一系列操作將其變為一條線段，這個過程從三維幾何體到二維圖形再到一維線段，我們把它稱之為“
降維
”過程。所以，尤拉公式對於
任意簡單多面體
都是成立的。
還記得開頭提到的柏拉圖多面體嗎？我們同樣可以用尤拉公式證明正多面體的個數是有限個的。即滿足是正多面體的頂點數、面數、稜數（，，）只可能是
這五種情況。證明過程在這裡就不贅述了，感興趣的同學可以自行探究。
參考文獻
［1］R·柯朗 H·羅賓。 什麼是數學——對思想和方法的基本研究［M］。復旦大學出版社，2012。
圖書推薦
《什麼是數學》
對思想和方法的基本研究
作者：R·柯朗，H·羅賓
譯者：左平，張飴慈
出版：復旦大學出版社
內容簡介：《什麼是數學：對思想和方法的基本研究（第4版）》是世界著名的數學科普讀物，它蒐集了許多經典的數學珍品，對整個數學領域中的基本概念與方法，做了精深而生動的闡述。無論是數學專業人士，或是願意作數學思考者都可以閱讀《什麼是數學：對思想和方法的基本研究（第4版）》。
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